Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 248
cuja solução é dada por:
Observações:
a0 = 1
2π
ak = 1
π
bk = 1
π
2π
0
2π
0
2π
0
f(x) dx ,
f(x) cos kx dx , k = 1, 2, . . . , m ,
f(x) sen kx dx , k = 1, 2, . . . , m .
i) Se a função dada é uma função par, então, desde que sen x é uma função impar, temos que:
e portanto:
2π
0
f(x) a0 +
f(x) sen x dx = 0 ,
m
k=1
ak cos kx .
ii) Se a função dada é uma função impar, então, desde que cos x é uma função par, temos que:
e portanto:
2π
0
f(x)
f(x) cos x dx = 0 ,
m
k=1
bk sen kx .
iii) A aproximação de f(x) no intervalo [0, 2π] por (8.7), usando o produto escalar (8.8), pelo método
dos mínimos quadrados é também conhecido como Análise Harmônica. Os termos: ak
bk sen kx podem ser expressos na forma: Ak sen(kx + ψk), onde
cos kx +
Ak =
(a2 k + b2 k ) e tg ψk = ak
,
e são chamados harmônicos de ordem k. O termo Ak é denominado amplitude e ψk ângulo de fase.
Exemplo 8.4 - Obter aproximação trigonométrica de ordem 1, para:
f(x) = |x|, −π ≤ x ≤ π .
Solução: Prolongando a função dada, periodicamente, (período 2π), obtemos:
bk