Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 340
11.14 - Determinar h de modo que a regra 3 8
com erro inferior a 0.5 × 10 −3 .
0.8
11.3 Polinômios Ortogonais
0.2
de Simpson forneça o valor de
sen x dx ,
Ao lado das fórmulas de Newton-Cotes para integração numérica, as fórmulas de quadratura de
Gauss, a serem definidas mais adiante, se destacam por fornecerem resultados altamente precisos. Tais
fórmulas, baseiam-se em propriedades de polinômios ortogonais os quais passamos a estudar agora. (Para
melhor entendimento das propriedades reveja os conceitos de base ortogonal, mudança de base e produto
escalar, dados no Capítulo 1).
Sejam φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . ., uma família de polinômios de graus 0, 1, 2, . . ..
Se: ⎧ ⎨
⎩
e
(φi(x), φj(x)) = 0 , para i = j ,
(φi(x), φi(x)) = 0 , para φi = 0 ,
então os polinômios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . se dizem ortogonais.
Neste estudo, estamos considerando o produto escalar:
(f, g) =
com ω(x) ≥ 0 e contínua em [a, b], onde ω(x) é a função peso.
b
a
(11.17)
ω(x) f(x) g(x) dx , (11.18)
Os polinômios φi(x), i = 0, 1, 2, . . ., podem ser obtidos pela ortogonalização da sequência {1, x, x 2 , . . .}
(usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt (Capítulo 1)) ou, através do seguinte:
Teorema 11.4 - Sejam os polinômios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . , de graus 0, 1, 2, . . . , definidos por:
onde:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
φ0(x) = 1 ,
φ1(x) = x − (x φ0(0), φ0(0))
(φ0(0), φ0(x)) φ0(x) = x −
e, para k = 1, 2, 3, . . . ,
φk+1(x) = x φk(x) − αkφk(x) − βk φk−1(x) ,
αk = (x φk(x), φk(x))
(φk(x), φk(x))
; βk =
(x, 1)
(1, 1)
1 ,
(φk(x), φk(x))
(φk−1(x), φk−1(x)) .
(11.19)
Os polinômios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . ., assim definidos, são dois a dois ortogonais, isto é, satisfazem
(11.17).