Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 440
Então, da equação (13.17), temos:
e, então
ei,j+1 = Ui,j+1 − ui,j+1
= Ui,j + σ(Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j) − [ui,j + σ(ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) + kτi,j]
= ei,j + σ(ei−1,j − 2ei,j + ei+1,j) − kτi,j
= σ(ei−1,j + ei+1,j) + (1 − 2σ)ei,j − kτi,j ,
(13.22)
|ei,j+1| ≤ |σ|(|ei−1,j| + |ei+1,j|) + |1 − 2σ||ei,j| + | − k||τi,j| . (13.23)
Fazendo Ej = max{|ep,j|, 0 ≤ p ≤ N}, τj = max{|τp,j|, 0 ≤ p ≤ N}, supondo 1 − 2σ ≥ 0, (condição
de estabilidade) e como σ > 0 podemos reescrever a equação (13.23) como:
Portanto:
|ei,j+1| ≤ |σ|2Ej + |1 − 2σ|Ej + |k||τi,j| ≤ Ej + k | τi,j |≤ Ej + τj .
Ej+1 ≤ Ej + kτj . (13.24)
Aplicando (13.24) recursivamente para j, j − 1, j − 2, . . . , 1, obtemos a seguinte expressão:
Ej+1 ≤ k(τ0 + τ1 + . . . + τj) ≤ (j + 1)kτ ≤ T τ ,
onde τ = max{τi, i = 0, 1, . . . , M} e T = Mk é um limitante para o domínio na direção do eixo tempo,
ver equação (13.14).
Então, se a condição 1 − 2σ ≥ 0 é satisfeita e se τ é de ordem pelo menos h, Ej+1 → 0 quando k → 0.
Observe que para provarmos que Ej → 0 foi necessário assumir duas condições: τ = O(h) e 1−2σ ≥ 0.
Essas duas hipóteses são cruciais para a conclusão do resultado, sem elas ele não pode ser provado. Essas
hipóteses são na verdade os conceitos de Consistência e Estabilidade que passamos a definir mais
precisamente.
Definição 13.1 - Um método numérico é consistente com relação a uma dada equação se o erro de
truncamento local desse método para aquela equação for pelo menos de O(h)
Definição 13.2 - Um método numérico é estável se a equação de diferenças associada não amplifica
erros dos passos anteriores.
Por exemplo a equação de diferenças yj+1 = σyj é est ável se |σ| ≤ 1 e instável se |σ| > 1 pois: Sejam
yj e zj as soluções dessa equação com os dados iniciais y0 e z0 = y0 + ɛ, onde ɛ é um número pequeno.
O leitor não terá dificuldade em mostrar que
E portanto,
yj = (σ) j y0, zj = (σ) j z0 = (σ) j (y0 + ɛ) = (σ) j y0 + (σ) j ɛ .
|zj − yj| = (σ) j ɛ
,
ou seja o erro ɛ cometido no primeiro passo é amortecido ou amplificado dependendo de |σ|.