Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 119
4.3 Método de Eliminação de Gauss
Seja o sistema linear Ax = b, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares.
O método de Eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples, consiste
em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma sequência de operações
elementares sobre as linhas do sistema original, isto é, o sistema equivalente é obtido através da aplicação
repetida da operação:
“substituir uma equação pela diferença entre essa mesma equação e uma outra equação multiplicada
por uma constante diferente de zero”.
É claro que tal operação não altera a solução do sistema, isto é, obtem-se com ela outro sistema
equivalente ao original. O objetivo é organizar essa sequência de operações de tal forma que o sistema
linear resultante seja triangular superior.
Descrição do algoritmo:
Considere o sistema linear dado por (4.1). Em primeiro lugar montamos a matriz aumentada:
⎛
⎜
⎝
a (1)
11
a (1)
21
a (1)
31
a (1)
12
a (1)
22
a (1)
32
a (1)
13 . . . a (1)
1n | b (1)
1
|
a (1)
23 . . . a (1)
2n | b (1)
2
|
a (1)
33 . . . a (1)
3n | b (1)
3
|
. . . . . . |
|
a (1)
n1
a (1)
n2
onde para i, j = 1, 2, . . . , n, a (1)
ij = aij e b (1)
i
a (1)
n3 . . . a (1)
nn | b (1)
n
= bi.
Por hipótese temos que a (1)
11 = 0, pois det(A1) = 0.
Primeiro Passo: Eliminar a incógnita x1 da 2 ā, 3 ā, . . ., n ā equações (isto é, zerar os elementos da
primeira coluna abaixo da diagonal); para isso, substituímos a 2 ā, 3 ā, . . ., n ā equações, respectivamente,
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
pela diferença entre a 2ā equação e a 1ā equação multiplicada por a(1) 21
a (1)
11
pela diferença entre a 3ā equação e a 1ā equação multiplicada por a(1) 31
a (1)
11
- - - - - - - - - - -
pela diferença entre a n ā equação e a 1 ā equação multiplicada por a(1)
n1
a (1)
11
,
,
.