Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL281
Teorema 10.1 -Dados n+1 pontos distintos x0, x1, . . . , xn (reais ou complexos) e n+1 valores y0, y1, . . . , yn
existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que
Prova: Seja:
Pn (xk) = yk , k = 0, 1, . . . , n . (10.1)
Pn(x) = a0 + a1 x + . . . + an x n ,
um polinômio de grau no máximo n, com n + 1 coeficientes a0, a1, . . . , an a serem determinados.
Em vista de (10.1), temos:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a0 + a1x0 + . . . + anx n 0 = y0
a0 + a1x1 + . . . + anx n 1 = y1
. . . . . .
a0 + a1xn + . . . + anx n n = yn
(10.2)
o qual pode ser interpretado como um sistema linear para os coeficientes a0, a1, . . . , an e cujo determinante,
conhecido como determinante de Vandermonde, é dado por:
1 x0 . . . x
V = V (x0, x1, . . . , xn) =
n 0
1 x1 . . . xn
1
. . .
. (10.3)
Para se calcular V , procedemos da maneira seguinte:
Consideremos a função V (x) definida por:
V (x) = V (x0, x1, . . . , xn−1, x) =
1 xn . . . x n n
1 x0 . . . x n 0
1 x1 . . . x n 1
. . . . . . . . . . . .
1 xn−1 . . . x n n−1
1 x . . . x n
. (10.4)
V (x) é, como facilmente se verifica, um polinômio de grau menor ou igual a n. Além disso, V (x) se
anula em x0, x1, . . . , xn−1. Podemos, então escrever:
V (x0, x1, . . . , xn−1, x) = A (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn−1) , (10.5)
onde A depende de x0, x1, . . . , xn−1 .
Para se calcular A, desenvolvemos (10.4) segundo os elementos da última linha e observamos que o
coeficiente de x n é V (x0, x1, . . . , xn−1). Logo,
V (x0, . . . , xn−1, x) = V (x0, . . . , xn−1) (x − x0) . . . (x − xn−1) . (10.6)
Substituindo x por xn em (10.6), obtemos a seguinte fórmula de recorrência:
V (x0, . . . , xn−1, xn) = V (x0, . . . , xn−1) (xn − x0) . . . (xn − xn−1) . (10.7)