Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 413
12.6.1 Sistemas de Equações Diferenciais
Consideremos um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem:
o qual pode ser escrito, como:
y ′ 1 = f1(x, y1, y2, . . . , yn)
y ′ 2 = f2(x, y1, y2, . . . , yn)
.
y ′ n = fn(x, y1, y2, . . . , yn)
y ′ = f(x, y) ,
onde y, y ′ e f são vetores com componentes yi, y ′ i e fi, (i = 1, 2, . . . , n), respectivamente. Para que esse
sistema possua uma única solução é necessário impormos uma condição adicional sobre y. Esta condição
é usualmente da forma:
y(x0) = y0 ,
para um dado número x0 e um vetor y0. Condições suficientes para a existência e unicidade de solução
de tais sistemas podem ser encontradas em [Rao,1981].
Agora descreveremos como os métodos apresentados nas seções anteriores para a solução de equações
diferenciais de primeira ordem podem ser aplicados para resolver sistemas de equações diferenciais de
primeira ordem. Para efeito de simplicidade, e sem perda de generalidade, consideramos apenas o caso
em que n = 2, isto é, o sistema possui apenas duas equações, e, para maior clareza usaremos a notação:
⎧
y ′ = f(x, y, z)
⎪⎨
⎪⎩
z ′ = g(x, y, z)
y(x0) = y0
z(x0) = z0
x ∈ [x0, b]
Assim, se desejarmos resolver o sistema (12.42) pelo método de Euler, teremos:
yn+1 = yn + hf(xn, yn, zn)
zn+1 = zn + hg(xn, yn, zn)
que será aplicado passo a passo, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 12.15 - Usando o método de Euler, resolver o seguinte sistema diferencial:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y ′ = z
z ′ = y + e x
y(0) = 1
z(0) = 0 x ∈ [0, 0.2] , h = 0.1
(12.42)
(12.43)