Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 14
Solução: Usando cada uma das definições dadas anteriormente, obtemos:
||A||∞ = |6| + |3| + |4| = 13 ,
||A||1 = |3| + |6| + | − 1| = 10 ,
||A||E = (9 + 4 + 1 + 36 + 9 + 16 + 1 + 4 + 1) 1/2 = 9 .
Como no caso de vetor, as normas de matrizes também são equivalentes, isto é, satisfazem uma relação
do tipo (1.15), com o vetor x substituído pela matriz A. A verificação das desigualdades no próximo
exemplo fica como exercício.
Exemplo 1.14 - Como exemplos de normas equivalentes, no espaço vetorial das matrizes de ordem n,
temos:
a)
1
n A ∞ ≤ A E ≤ √ n A ∞ ,
b)
1
n A 1 ≤ x E ≤ √ n x 1 ,
c) A ∞ ≤ n A 1 ,
d) A 1 ≤ n A ∞ .
Definição 1.12 - Dada uma norma de vetor, podemos definir uma norma de matriz, que será chamada
de subordinada a ela do seguinte modo:
A = sup Ax .
x=1
Observe que a norma de matriz assim definida pode ser interpretada como sendo o comprimento do
maior vetor no conjunto imagem {Ax} da esfera unitária {x / x = 1} pela transformação x → Ax.
Definição 1.13 - Se uma norma de matriz e uma norma de vetor estão relacionadas de tal modo que a
desigualdade:
Ax ≤ A x ,
é satisfeita para qualquer x, então dizemos que as duas normas são consistentes.
Note que existe um vetor x0 tal que: Ax = A x . Nestas condições: A = mink tal que
Ax ≤ k x .
Exercícios
1.14 - Considere os vetores do IR 6 : x = (1, 2, 0, −1, 2, −10) t e y = (3, 1, −4, 12, 3, 1) t . Calcule
a norma de cada um desses vetores usando as normas definidas no exemplo 1.9.
1.15 - No espaço vetorial IR 4 , munido do produto escalar usual, sejam x = (1, 2, 0, 1) t e y =
(3, 1, 4, 2) t . Determine: (x, y), x , y , d(x, y) e
1.16 - Prove que num espaço euclidiano normado:
a) x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 +y 2 ),
b) | x − y | ≤ x − y .
x + y
x + y .