Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 344
P0(x) = 1
P1(x) = x −
= x −
⇒ P1(x) = x .
(x, 1)
· 1
(1, 1)
1
−1
x dx
1
−1 dx
= x − x2 1
/2
x −1
P2(x) = x P1(x) − α1P1(x) − β1P0(x), onde
α1 = (xP1(x), P1(x))
(P1(x), P1(x)) =
= x4 /4
x3 1
/3 −1
= 0 ,
β1 = (P1(x), P1(x))
(P0(x), P0(x)) =
= x3 1
/3
x −1
= 2/3
2
1
−1 x3 dx
1
−1 x2 dx
1
−1 x2 dx
1
−1 dx
= 1
3 ,
⇒ P2(x) = x 2 + 0 × x − 1
3 × 1 = x2 − 1
3 .
.
11.3.2 Propriedades dos Polinômios Ortogonais
Vejamos algumas das propriedades dos polinômios ortogonais que serão importantes para a obtenção
das fórmulas de Quadratura de Gauss.
Propriedade 1 - Sejam φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . ., polinômios ortogonais, não nulos, segundo um produto
escalar qualquer. Então, qualquer polinômio de grau menor ou igual a n pode ser escrito como
combinação linear de φ0(x), φ1(x), . . . , φn(x).
Prova: Os polinômios φ0(x), φ1(x), . . . , φn(x) constituem uma base para o espaço dos polinômios de