Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 16
onde os αi, i = 1, 2, . . . , k − 1, são determinados de tal maneira que ek seja ortogonal a todos os ei já
calculados. Assim, devemos ter: (ek, ei) = 0, i = 1, 2, . . . , k − 1, ou seja:
(ek, e1) = (fk + αk−1ek−1 + . . . + α1e1, e1) = 0 ,
(ek, e2) = (fk + αk−1ek−1 + . . . + α1e1, e2) = 0 ,
.
(ek, ek−1) = (fk + αk−1ek−1 + . . . + α1e1, ek−1) = 0 .
Desde que os vetores e1, e2, . . . , ek−1 foram construídos dois a dois ortogonais, obtemos:
Portanto, segue que:
(fk, e1) + α1 (e1, e1) = 0 ,
(fk, e2) + α2 (e2, e2) = 0 ,
.
(fk, ek−1) + αk−1 (ek−1, ek−1) = 0 .
α1
α2
.
= − (fk, e1)
,
(e1, e1
= − (fk, e2)
(e2, e2) ,
αk−1 = − (fk, ek−1)
(ek−1, ek−1) .
Mostremos agora que ek = 0. De fato, temos que ek é combinação linear dos vetores e1, e2, . . . , ek−1, fk.
Mas ek−1 pode ser escrito com combinação linear dos vetores e1, e2, . . . , ek−2, fk−1 e assim por diante.
Então, substituindo, teremos:
ek = a1 f1 + a2 f2 + . . . + ak−1 fk−1 + fk ,
e como f1, f2, . . . , fk, são linearmente independentes, temos que ek = 0; qualquer que seja k.
Assim, usando e1, e2, . . . , ek−1 e fk construímos ek. Analogamente com e1, e2, . . . , ek e fk+1 construímos
ek+1. Continuando o processo, construímos os n vetores dois a dois ortogonais. Assim esses
vetores formam uma base ortogonal de E. Tomando:
e ∗ i = ei
ei
, i = 1, 2, . . . , n ;
teremos uma base ortonormal de E.
Chama-se processo de Gram-Schmidt a construção passo a passo (descrita na prova do teorema
1.6) para converter uma base arbitrária em base ortogonal.
Exemplo 1.15 - Construir a partir de
f1 = (1, −2, 0) t , f2 = (0, 1, 1) t , f3 = (1, 0, −1) t ;
uma sequência de vetores ortonormais e ∗ 1, e ∗ 2, e ∗ 3, relativamente ao produto escalar usual do IR 3 , usando o
processo de Gram-Schmidt.