Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 147
4.35 - Resolva o seguinte sistema, por Eliminação de Gauss, usando aritmética complexa.
(2 + 3i) x + (2 − i) y = 2 + i
(4 + 6i) x + (3 − 6i) y = −2 − 5i
4.36 - No exercício anterior escreva x = xr + ixi; y = yr + iyi. Multiplique as partes real e imaginária
de cada equação separadamente. Mostre que o resultado é um sistema de 4 equações a 4 incógnitas, cuja
solução são as partes real e imaginária do exercício anterior.
4.37 - Se a decomposição LU de uma matriz simétrica A é dada por:
L =
⎛
1
⎜ 2
⎝ 3
1
2 1
⎞
○ ⎟
⎠ , U =
⎛
1
⎜
⎝ ○
2
4
3
8
9
⎞
4
12 ⎟
18 ⎠
4 3 2 1
16
,
verifique que a matriz G da decomposição Cholesky é dada por:
G =
⎛
1
⎜ 2
⎝ 3
2
4 3
⎞
○ ⎟
⎠
4 6 6 4
.
4.38 - Resolver o sistema matricial:
⎛
1 0
⎞ ⎛
1
⎝ 1 1 0 ⎠ ⎝
1 1 0
pelo método de Gauss-Compacto.
x1 | y1
x2 | y2
x3 | y3
⎞
⎠ =
4.39 - Calcular u2, u3, u4, u5 resolvendo a equação de diferenças:
⎛
⎝
un+2 + 4un+1 + un = n , (∗)
4 | 2
2 | −2
9 | 7
com as condições de contorno u1 = 0 e u6 = 1, usando um método a sua escolha.(Escreva (∗) para
n = 1, 2, 3, 4).
4.40 - Aplicando-se o método de Cholesky a uma matriz foi obtido:
⎛
1 2 −1
⎞
A = ⎝ . . .
. . .
13
1
. . . ⎠ = GG
4
t
⎛
. . . 0 . . .
onde G = ⎝ 2
−1
. . .
. . .
. . .
√ 2
a) Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.
b) Usando a decomposição GG t , calcule a inversa de A.
4.41 - Seja o sistema Ax = b, dado por:
⎛
10
⎝ 7
7
5
8
6
⎞ ⎛
⎠
8 6 10
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ −3
−1
7
a) Determine a inversa da matriz dos coeficientes pelo método de Eliminação de Gauss.
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .