Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 240
Do (Exemplo 1.14), temos que:
P0(x) = 1 ,
P1(x) = x ,
P2(x) = x 2 − 1 3 .
Ortonormalizando primeiramente P0(x) e P1(x), para que possamos obter a reta que melhor aproxima
f(x), obtemos:
P ∗ 0 (x) =
P ∗ 1 (x) =
P0
=
1/2
[(P0, P0)]
P1
=
1/2
[(P1, P1)]
Assim os coeficientes a0 e a1 são dados por:
Portanto:
a0 = (f, P ∗ 0 ) =
a1 = (f, P ∗ 1 ) =
1
−1
1
−1
f(x) Q1(x) =
=
√ 2
5
1
1
−1 dx
=
1/2
1
1
−1 x2 =
1/2
dx
√ 2
2 ,
√
6
x .
2
√
2
2 (x4 √
2
− 5 x)dx =
5 ,
√
6
2 x (x4 − 5 x)dx = − 5√6 3
√ 2
√
2
2
5 P ∗ 0 (x) − 5√3 3 P ∗ 1 (x)
− 5√ 6
3
√
6
x .
2
Devemos agora, ortonormalizar P2(x), (para obtermos a parábola). Assim:
Então:
P ∗ 2 (x) =
a2 = (f, P ∗ 2 ) =
P2
=
1/2
[(P2, P2)]
= 3√ 10
4
1
−1
3 √ 10
4
x 2 − 1/3 .
(x2 − 1/3)
1
−1 (x2 − 1/3) 2 dx
1/2
x 2 − 1/3 x 4 − 5 x dx = 4 √ 10
35
.
.