Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 207
y4 = 1
⎛ ⎞
⎛
1
z4 = ⎝ −0.6584 ⎠ e de LUz5 = y4 ⇒ z5 = ⎝
α4 0.1426
0.7471
−0.4942
0.1061
⇒ λ −1
⎛
(z5)r
3 = = ⎝
(y4)r
0.7471
⎞
0.7506 ⎠ .
0.7443
Logo λ −1
3 0.7471 é o auto-valor de maior valor absoluto de A−1 . Portanto 1
auto-valor de menor valor absoluto de A.
7.4.2 Método das Potências com Deslocamento
Suponha agora que A tem auto-valores λi, reais, com
e considere a sequência de vetores definida por:
λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ . . . ≥ λn−1 > λn .
zk+1 = (A − qI)yk
yk+1 =
1
αk+1
zk+1, onde αk+1 = max
1≤r≤n | (zk+1) r | ,
⎞
⎠ ,
λ −1
3
1.3385 é o
onde I é a matriz identidade de ordem n e q é um parâmetro qualquer. Isto é chamado Método das
Potências com Deslocamento, porque A − qI tem auto-valores λi − q, isto é, os auto-valores de A são
deslocados q unidades na reta real. Os auto-vetores de A − qI são os mesmos da matriz A.
Portanto o Teorema 7.2 pode ser aplicado à matriz A − qI, e pode ser mostrado que yk converge para
o auto-vetor correspondente àquele que maximiza |λi − q|. Portanto se:
q < λ1 + λn
2
q > λ1 + λn
2
então yk → u1 e lim
k→∞
então yk → un e lim
k→∞
(zk+1) r
(yk) r
(zk+1) r
(yk) r
→ λ1 − q ,
→ λn − q ,
Assim, a escolha apropriada de q pode ser usada para determinar os dois auto-valores extremos, correspondendo
ao maior e ao menor auto-valor de A. Observe que se q = (λ1 +λn)/2 então λ1 −q = −(λn −q),
e assim A − qI tem dois auto-valores de mesmo módulo, mas de sinais opostos. Neste caso, a sequência
de vetores oscilará entre dois limites os quais são duas combinações de u1 e u2.
O auto-valor e o auto-vetor dominante são usualmente calculados tomando um deslocamento zero,
isto é, o cálculo para determinar λ1 e u1 são realizados na matriz A, através do método das potências.
A matriz pode então ser deslocada de λ1 para estimar o auto-valor λn.
Exemplo 7.6 - Determinar o auto-valor de menor valor absoluto da matriz dada no exemplo 7.4, usando
o método das potências com deslocamento.