Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 456
Método Explícito
Vamos exemplificar esta técnica usando
ou seja, α1 ≡ α2 ≡ 1 e D1 = ux, D2 = uy.
A equação (13.53) torna-se:
onde u n = u n l,m .
Como
e
veja exercício (??). Então
u n+1 = [1 + σδ 2 x + 1 1
σ(σ −
2
L ≡ uxx + uyy = D 2 1 + D 2 2, (13.54)
u n+1 = exp(kD 2 1) exp(kD 2 2)u n
D 2 1 = 1
h 2 (δ2 x − 1
12 δ4 x + 1
90 δ6 x · · · )
D 2 2 = 1
h 2 (δ2 y − 1
12 δ4 y + 1
90 δ6 y · · · ),
6 )δ4 x · · · ][1 + σδ 2 y + 1
2
σ(σ − 1
6 )δ4 y · · · ]u n , (13.55)
onde σ = k/h 2 . Aqui estamos utilizando h1 = h2 = h, como espaçamento nas variáveis x e y. A conclusão
final não será muito distinta se considarmos espaçamentos diferentes para cada uma das variáveis
espaciais. No entanto, alertamos que essa talvez seja uma situação mais realista para aplicações práticas.
Vários métodos explícitos podem ser obtidos da equação (13.55). Por exemplo, multiplicando as duas
séries e em seguida considerando somente os termos de primeira ordem obtemos,
U n+1
l,m = [1 + σ(δ2 x + δ 2 y)]U n l,m + O(k 2 + kh 2 ), (13.56)
que é o método explícito padrão envolvendo cinco pontos no nível de tempo t = nk.
Outro método simples pode ser obtido da equação (13.55) considerando os termos de primeira ordem
em cada uma das expansões separadamente
U n+1
l,m = (1 + σδ2 x)(1 + σδ 2 y)U n l,m + O(k 2 + kh 2 ), (13.57)
Esta fórmula envolve nove pontos do nível de tempo t = nk.
Estabilidade
Analogamente ao caso unidimensional temos o critério de von Neumann e o critério da matriz para análise
da estabilidade. No entanto, em duas dimensões a análise da estabilidade pelo método da matriz se torna
um tanto complexa, pois na tentativa de generalizar o procedimento feito para o problema unidimensional
por exemplo para a equação (??) obtemos um sistema linear U n+1 = AU n + c n , onde agora, U n é um
vetor de vetores e A uma matriz de matrizes. Se compararmos com a matriz (13.30) veremos que no
lugar dos elementos dessa matriz aparecerá agora matrizes. Este fato, complica a análise do problema de
autovalores.
Pela sua simplicidade e facilidade de exposição concentraremos aqui no estudo do critério de von
Neumann que assume uma decomposição harmônica dos erros em um dado nível de tempo, por exemplo,
t = 0. Um modo individual, representando a decomposição é então dado por:
e αt e Iβx e Iγy
(13.58)