Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 166
3. Uma permutação conveniente das linhas ou colunas de A antes de dividir cada equação pelo coeficiente
da diagonal principal pode reduzir o valor de B .
4. A convergência para os métodos: Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel não depende do vetor inicial
x (0) .
Evidentemente quanto melhor a aproximação inicial menor será o número de iterações necessárias
para atingir uma determinada precisão. Como não conhecemos a priori a solução, normalmente,
tomamos o vetor nulo como sendo o vetor inicial. Observe que para o método de Jacobi-Richardson,
se tomarmos o vetor nulo teremos x (1) = b ∗ . Tomamos então x (0) = θ (vetor nulo), para o método
de Gauss-Seidel e x (0) = b ∗ , para o método de Jacobi-Richardson.
Exemplo 5.3 - Resolver o sistema:
⎧
⎨
pelo método de Gauss-Seidel com ɛ < 10 −2 .
⎩
5x1 + x2 + x3 = 5
3x1 + 4x2 + x3 = 6
3x1 + 3x2 + 6x3 = 0
Solução: A matriz dos coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante. Assim, por esse critério,
nada podemos afirmar sobre a convergência do processo de Gauss-Seidel.
Dividindo cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal obtemos:
⎧
⎨
⎩
x1 + 0.2x2 + 0.2x3 = 1
0.75x1 + x2 + 0.25x3 = 1.5
0.5x1 + 0.5x2 + x3 = 0
Vimos anteriormente que se matriz dos coeficientes não for estritamente diagonalmente dominante
então o critério das linhas também não será satisfeito. Mas, por se tratar de exemplo, calculemos (5.7).
Assim:
|a ∗ 12| + |a ∗ 13| = |0.2| + |0.2| = 0.4 ,
|a ∗ 21| + |a ∗ 23| = |0.75| + |0.25| = 1 ,
|a ∗ 31| + |a ∗ 32| = |0.5| + |0.5| = 1 ,
⇒ max
1≤i≤n
3
j=1
j=i
|aij| = 1
e portanto por esse critério não podemos garantir convergência.
Aplicando o critério de Sassenfeld, temos:
β1 = |0.2| + |0.2| = 0.4 ,
β2 = |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55 ,
β3 = |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475 ,
⇒ max
1≤i≤n βi = 0.55 < 1 ,
logo temos o critério de Sassenfeld satisfeito e portanto podemos garantir que o processo de Gauss-Seidel
converge .
.