Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 224
Considere então o produto U1A, onde U1 é dada por (1.23). O elemento a ′ qp é dado por:
e queremos a ′ qp = 0. Assim, o que desejamos é
a ′ qp = −sen ϕapp + cos ϕaqp , (7.16)
− app 1 − cos2ϕ + cosϕaqp = 0
1 − cos2ϕ = aqpcosϕ
⇒ app
⇒ a 2 pp(1 − cos 2 ϕ) = a 2 qpcos 2 ϕ
⇒ (a 2 pp + a 2 qp)cos 2 ϕ = a 2 pp
⇒ cosϕ =
Por outro lado, igualando (7.18) a zero, segue que:
senϕ = aqp cos ϕ
app
app
a 2 pp + a 2 qp
⇒ senϕ =
.
aqp
a 2 pp + a 2 qp
Para melhor entendimento do método, considere uma matriz de ordem 3. Para reduzí-la a forma
triangular devemos zerar os elementos a21, a31 e a32. Assim, fazendo c = cosϕ e s = senϕ, segue que:
1) para zerar o elemento a21, efetuamos o produto:
⎛
c
⎝ −s
s
c
⎞ ⎛
0
0 ⎠
0 0
1
U1
⎝ a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
e desde que queremos a21 = 0 devemos ter:
−s a11 + c a21 = 0, onde
s =
a21
a2 11 + a2 21
⎞
⎠ =
e c =
2) para zerar o elemento a31, efetuamos o produto:
⎛
c 0
⎝ 0 1
−s 0
⎞ ⎛
s
0 ⎠ ⎝
c
a′ 11 a ′ 12 a ′ 0 a
13
′ 22 a ′ a31 a32
23
a33
e desde que queremos a31 = 0, devemos ter:
U2
− s a ′ 11 + c a31 = 0, onde
s =
a31
a ′ 2
11 + a 2 31
⎞
⎠ =
e c =
⎛
⎝ a′ 11 a ′ 12 a ′ 13
0 a ′ 22 a ′ 23
a31 a32 a33
a11
a2 11 + a2 21
⎛
⎝ a′′
11
.
.
a ′′
12
a ′′
13
0 a ′ 22 a ′ 23
0 a ′′
32
a ′ 11
a ′ 2
11 + a 2 31
.
a ′′
33
⎞
⎠ ,
⎞
⎠