Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 324
Exemplo 11.1 - Seja [a, b] = [0,2] e sejam x0 = 0, x1 = 1, e x2 = 3 2 .
a) Determinar fórmula de quadratura que seja exata para todo polinômio de grau ≤ 2.
b) Usando a fórmula obtida em a) calcular:
2
0
(x 2 − 2) dx .
Solução: Dado os pontos x0, x1, x2 exigimos que a fórmula seja exata para f(x) = 1; f(x) = x; f(x) =
x 2 . Consideremos, por simplicidade, mas sem perda de generalidade, ω(x) = 1. Portanto:
2
0
2
0
2
0
dx = A0 + A1 + A2 = 2 ,
xdx = A0 · 0 + A1 · 1 + A2 · 3
2
x 2 dx = A0 · 0 + A1 · 1 + A2 · 9
4
= 2 ,
= 8
3 ,
onde os valores: 2, 2, 8 3 são o resultado da integral de 0 a 2 de 1, x, x2 , respectivamente. Assim, temos
obtido um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas. Resolvendo o sistema resultante, obtemos:
A0 = 4 9 ; A1 = 2 3 ; A2 = 8 9 .
Portanto, temos uma fórmula para integrar uma função f(x), no intervalo [0, 2], isto é:
2
que é uma fórmula de quadratura interpolatória.
0
f(x)dx = 4
9 f(x0) + 2
3 f(x1) + 8
9 f(x2) ,
b) Temos que: f(x) = x2 − 2 , x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 3 2
. Assim:
f(x0) = −2 , f(x1) = −1 , f(x2) = 1
4 .
Portanto, usando a fórmula obtida no item a), temos que:
2
0
x 2 − 2 dx = 4
9
e resolvendo a integral, via cálculo, obtemos:
2
0
x 2 − 2 dx = x 3
2 8
(−2) + (−1) +
3 9
3
1
4
= − 12
9
2
− 2 x =
0
8
− 4 = −4
3 3 .
= −4
3 ,
Observe que podemos obter uma fórmula de quadratura, usando o método descrito acima. Entretanto,
obter fórmulas assim é um tanto trabalhoso, pois se mudarmos os limites de integração e ( ou ) os pontos,
todos os cálculos devem ser refeitos. Seria interessante obtermos fórmulas que não dependessem nem dos
pontos nem dos limites de integração. Esse objetivo será alcançado com as