Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 396
xn yn y(xn)
0 1 1
0.1 1.10517 1.10517
0.2 1.22068 1.22140
0.5 1.60638 1.64872
0.7 1.63634 2.01375
0.9 -0.74079 2.45960
1.0 -6.55860 2.71828
Vemos pelos valores obtidos que o método não é convergente. Analisemos então a consistência e a
estabilidade. De (12.21), segue que:
e assim:
Portanto:
Logo o método é consistente. Mas,
yn+2 − 4yn+1 + 3yn = −2hfn .
α0 = 3 , β0 = −2 ,
α1 = −4 , β1 = 0 ,
α2 = 1 , β2 = 0 ,
C0 = α0 + α1 + α2 ⇒ C0 = 3 − 4 + 1 = 0 ,
C1 = α1 + 2α2 − β0 ⇒ C1 = −4 + 2 + 2 = 0 .
ρ(ξ) = ξ 2 − 4ξ + 3 = (ξ − 1)(ξ − 3) .
e assim as raízes de ρ(ξ) são ξ = 1 e ξ = 3 . Portanto o método não é estável. Isso explica a não
convergência do método.
Exercícios
12.6 - Verifique se o método explícito de dois passos:
yn+2 − yn+1 = h
3 [−2fn + 3fn+1] ,
pode ser utilizado para resolver um (p.v.i.) com garantia de convergência.
12.7 - Mostre que o método implícito de dois passos:
não é consistente.
yn+2 − yn+1 = h
12 [−fn + 8fn+1 + 4fn+2] ,