Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 220
Observe que os teoremas de Gerschgorin (Teorema 1.10) fornecem ainda um limitante para os erros
cometidos nos auto-valores calculados pelo método de Jacobi. No exemplo 7.11, os círculos de Gerschgorin
da matriz transformada A4 são dados por:
a1 = 6.1616 , r1 = 0.0227 ,
a2 = 3.9303 , r2 = 0.0003 ,
a3 = −5.0919 , r3 = 0.0224 .
Estes círculos são isolados e assim existe exatamente um auto-valor em cada círculo. Os auto-valores
podem portanto serem estimados por:
6.1616 ± 0.0227 , 3.9303 ± 0.0003 , −5.0919 ± 0.0224
De um modo geral, se os elementos não diagonais de uma matriz n × n simétrica têm módulo não
excedendo ɛ então, desde que os círculos de Gerschgorin são isolados, os auto-valores diferem dos elementos
da diagonal principal por no máximo (n − 1)ɛ.
Exercícios
7.9 - Determine os auto-valores e auto-vetores das seguintes matrizes:
A =
⎛
10
⎝ −6
−6
11
⎞
−4
2 ⎠ , B =
⎛
⎝
2
4
4
2
−2
2
−4 2 6
−2 2 5
usando:
7.10 - Se:
a) o método de Jacobi,
b) o método cíclico de Jacobi,
c) o método cíclico de Jacobi, com dados de entrada igual a 10 −i para o i-ésimo ciclo.
U =
⎛
⎝
cosϕ 0 senϕ
0 1 0
−senϕ 0 cosϕ
⎞
⎠ ; A =
⎛
⎝
⎞
5 0 1
0 −3 0.1
1 0.1 2
calcule U tAU, e deduza que se φ = −3 2
então os elementos (1, 3) e (3, 1) deste produto são iguais a zero.
Escreva aproximações para os auto-valores e auto-vetores de A. Use o teorema de Gerschgorin para obter
um limite superior do erro nos auto-valores estimados.
7.6 Método de Rutishauser (ou Método LR)
O método de Rutishauser ou Método LR permite, sob certas condições, determinar todos os
auto-valores de uma matriz, sem determinar o polinômio característico.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O método consiste em construir uma sequência de matrizes
A1, A2, . . . do seguinte modo: decompomos A = A1 no produto L1R1 onde L1 é triangular inferior com
1 na diagonal e R1 é triangular superior. (Decomposição LU, Capítulo 4). Então, A1 = L1R1. Agora,
⎠ ,
⎞
⎠ ,