Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 208
Solução: No exemplo 7.4, o auto-valor de maior valor absoluto foi estimado 7. Assim, para determinar
o auto-valor de menor valor absoluto, vamos aplicar o método das potências na matriz:
A − 7I =
⎛
−4
⎝ 2
0
−5
1
2
⎞
⎠ = A
4 2 −2
∗ .
⎛
Iniciando com y0 = ⎝ 1
1
1
⎞
⎠, obtemos:
z1 = A ∗ ⎛
y0 = ⎝ −3
⎞
−1 ⎠ ; α1 = max | (z1) r | = 4 .
4
y1 = 1
⎛ ⎞
−0.75
z1 = ⎝ −0.25 ⎠ , z2 = A
α1 1
∗ ⎛
y1 = ⎝ 4.00
⎞
1.75 ⎠ .
−5.50
Podemos, então, calcular uma primeira aproximação para λ∗ 1. Assim:
λ ∗(1)
1 = (z2) r
(y1) r
=
⎛ ⎞
−5.33
⎝ −7.00 ⎠ .
−5.50
Continuando o processo, obteremos:
⎛ ⎞
−0.52
y19 = ⎝ −0.94 ⎠ , z20 = A
1
∗ ⎛
3.03
y19 = ⎝ 5.71
−5.98
⇒ λ ∗(19)
1 = (z20)
⎛ ⎞
−5.92
r = ⎝ −5.95 ⎠ .
(y19)
r −5.98
Assim, podemos concluir que o auto-valor dominante de A ∗ é aproximadamente −5.98 com auto-vetor
aproximado u ∗ 1 = (−0.52, −0.94, 1) t . Portanto a matriz original possui o mesmo auto-vetor mas seu
auto-valor é −5.98+7.00 = 1.02. A lentidão na convergência neste caso se deve ao fato que os auto-valores
de A∗ k são: −6, −5 e 0 e assim a convergência é governada pelo fator: 56 . Compare com o exemplo
k k 7.4, e 7.5, onde a razão de convergência é 27 e 1.33754
4.21809
, respectivamente.
Em geral, se yk → u1, então na presença do deslocamento q, a velocidade de convergência depende de:
k λi − q
λ1 − q
e assim uma escolha adequada de q pode acelerar a convergência. Por exemplo, se A é uma matriz de
k ordem 3, com auto-valores: 5, 7 e 10, sem deslocamento a convergência depende de 7
10
, mas com um
k deslocamento de 6 dependerá de 14 , pois A − 6I tem auto-valores: −1, 1 e 4.
,
⎞
⎠