Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 210
Fazendo LUz3 = y2, obtemos:
z3 =
⎛
⎝ −50.4088
24.1885
50.4166
⎞
⎠ → λ ∗(2)
2
= z3
y2
=
⎛
⎝ 50.4138
48.3180
51.4166
Assim, λ ∗ 2 50.41. Portanto, o segundo maior auto-valor, em valor absoluto de A é:
λ2 = 1.98 + 1
50.41
= 1.9998 .
Observe que o sucesso do método das potências com deslocamento depende de nossa habilidade em
obter estimativas precisas para usar no deslocamento. Neste último exemplo, uma estimativa para λ2 foi
obtida usando a relação entre o traço da matriz e a soma dos auto-valores. Infelizmente, para matrizes de
ordem > 3, não é fácil obter valores apropriados para os deslocamentos. Como já dissemos anteriormente,
se desejamos todos os auto-valores devemos usar outros métodos.
Exercícios
7.5 - Determinar o auto-valor de maior valor absoluto e seu correspondente auto-vetor, da matriz:
⎛
1 −1
⎞
3
A = ⎝ −1 1 3 ⎠ .
3 −3 9
, calculando apenas a primeira aproximação pelo método das potências. O qua você pode concluir?
7.6 - Usando o método das potências calcular, o auto-valor de maior valor absoluto e seu correspondente
auto-vetor, da matriz:
⎛
2 −1
⎞
0
A = ⎝ −1 2 −1 ⎠ .
0 −1 2
com precisão de 10 −2 .
7.7 - Usando o método da potência inversa, calcule o auto-valor de menor valor absoluto da matriz:
A =
⎛
⎝
2
4
4
2
⎞
−2
2 ⎠ ,
−2 2 5
com precisão de 10 −2 .
7.8 - Sabendo que o auto-valor de maior valor absoluto da matriz:
⎛
4 −1 1
⎞
A = ⎝ 1 1 1 ⎠ ,
−2 0 −6
é aproximadamente: −5.76849, e que seu correspondente auto-vetor é aproximadamente: (−0.1157, −0.1306, 1) t ,
calcule os demais auto-valores e correspondentes auto-vetores de A, usando:
a) o método das potências com deslocamento para obter o menor auto-valor, em valor absoluto,
b) o método da potência inversa com deslocamento para obter o auto-valor λ2.
⎞
⎠ .