Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 384
Definição 12.1 - Um método linear de passo múltiplo é definido pela seguinte relação:
k
j=0
αj yn+j = h
k
j=0
βj fn+j , (12.7)
onde αj e βj são constantes arbitrárias independentes de n, com αk = 0 e α0 e β0 não ambos nulos.
Vamos supor αk = 1.
Dizemos que o método (12.7) é explícito se βk = 0 e implícito se βk = 0.
Os métodos de passo múltiplo podem ser obtidos de várias maneiras. Veremos a seguir algumas
técnicas de como obter tais métodos .
12.3.1 Obtidos do Desenvolvimento de Taylor
Descreveremos aqui como obter métodos lineares de passo múltiplo para resolver (12.2), baseados no
desenvonvimento da solução exata do (p.v.i.) em série de Taylor. Novamente, a função f pode ser linear
ou não, mas vamos admitir que f seja contínua e suficientemente derivável em relação a x e y.
I) O método mais simples de passo múltiplo é obtido fazendo q = 1, no método de Taylor de ordem q,
fórmula (12.5). Obtemos então o método explícito de 1-passo:
chamado Método de Euler.
yn+1 = yn + h fn , (12.8)
Exemplo 12.3 - Usando o método de Euler, resolver o (p.v.i.) do exemplo 12.1.
Solução: Fazendo n = 0, em (12.8), obtemos:
y1 = y0 + h f0 = 2 + 0.1(0) = 2 y(x1) = y(0.1) ,
onde f0 foi calculada no exemplo 12.1. Fazendo agora n = 1, em (12.8), segue que:
y2 = y1 + hf1 = 2 + 0.1(0.1) = 2.01 y (x2) = y(0.2) ,
desde que f1 = f(x1, y1) = f(0.1, 2) = −2+0.1+2 = 0.1. Finalmente, fazendo n = 2 em (12.8), obtemos:
y3 = y2 + hf2 = 2.01 + 0.1(0.19) = 2.019 y(x3) = y(0.3) ,
desde que f2 = f(x2, y2) = f(0.2, 2.01) = −2.01 + 0.2 + 2 = 0.19.
Assim a solução do (p.v.i.) dado é:
xn
yn
0 2
0.1 2
0.2 2.01
0.3 2.019