Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 426
12.11 - A resposta y(> 0) de uma certa válvula hidráulica sujeita a uma entrada de variação senoidal
é dada por:
dy
dt =
2 1 − y2
sen2
,
t
com y0 = 0, t0 = 0 .
Deseja-se obter a solução numérica desse (p.v.i.) usando um método numérico de ordem 3. Perguntase:
o algoritmo de Taylor pode ser usado para obter a solução desse (p.v.i.)? Se possível resolva-o pelo
algoritmo de Taylor de ordem 3, caso contrário use o método de Runge-Kutta de ordem 3.
12.12 - A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que uma chave é ligada em t = 0
pode ser expressa pela equação:
di
dt
= (Esen ωt − R)
L
onde E = 50 Volts, L = 1 Henry, ω = 300, R = 50 Ohms e a condição inicial é que i(0) = 0. Resolva
numericamente o (p.v.i.) por um método de Runge-Kutta de ordem 3 e compare sua solução com a
solução analítica:
i = E
Z 2 (Rsen ωt − ωLcos ωt + ωLe−Rt/L ,
onde Z = √ R 2 + ω 2 L 2 .
12.13 - Uma quantidade de 10 kg de um certo material é lançado em um recipiente contendo 60 kg de
água. A concentração da solução, c, em percentagem, a qualquer instante t é expressa como:
(60 − 1.212c) dc
dt
k
= (200 − 14c)(100 − 4c) ,
3
onde k, o coeficiente de transferência de massa, é igual a 0.0589. A condição incial é que em t = 0, c = 0.
Determine a relação entre c e t usando um método de Runge-Kutta de ordem 2.
12.14 - A equação de Van der Pol, da eletrônica, é:
y ′′ + (1 − y 2 )y ′ + y = 0 ,
com condições iniciais: y(0) = 0.5 e y ′ (0) = 0. Obtenha o valor de y, y ′ , y ′′ em t = 0.4 usando um método
de Runge-Kutta de ordem 2.
12.15 - Um sistema simples em vibração tem uma massa sujeita ao atrito de Coulomb, de modo que a
equação de seu movimento é:
my ′′ + n 2 y =
−A,
+A,
′ y > 0
y ′ < 0
onde A é uma constante, e y(0) = 3, y ′ (0) = 0. Considerando m = 1, n = 0.8 e A = 2 e usando um
método de Runge-Kutta de ordem 3, obtenha o valor de y em t = 5 segundos, com precisão de 10 −2 .
12.16 - Engenheiros ambientais e biomédicos precisam frequentemente prever o resultado de uma
relação predador-presa ou hospedeiro-parasita. Um modelo simples para esse tipo de relação é dado pelas
equações de Lotka-Volterra:
dH
dt = g1H − d1P H ,
dP
dt = −d2P + g2P H .
,