Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 215
Logo, podemos escrever:
c = cos ϕ =
1
1 + tg 2 ϕ =
s = sen ϕ = cos ϕ · t =
Resumindo, o método de Jacobi, consiste em:
1
√ 1 + t 2 ,
t
√ 1 + t 2 .
1) Determinar o elemento de maior módulo de A fora da diagonal. Esse elemento será denotado por
apq.
2) Calcular:
2.1) φ = aqq − app
2apq
2.2) t =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2.3) cos ϕ =
2.4) sen ϕ =
.
1
φ + Sinal(φ) φ 2 + 1
1
√ 1 + t 2 .
t
√ 1 + t 2 .
, φ = 0 ;
1 , φ = 0 .
3) Usar as fórmulas de rotação de Jacobi, isto é: as fórmulas: (7.13), (7.14), (7.6) com j = p, q
e (7.5) com i = p, q.
O processo deve ser repetido até obtermos uma matriz diagonal.
Observe que em cada passo k, o item 3) acima pode ser substituído pelo produto U t k AkUk.
Cálculo dos Auto-Vetores
Ao mesmo tempo que calculamos os auto-valores de uma matriz A pelo método de Jacobi podemos
obter seus auto-vetores. Vimos que a sequência de matrizes Ak é calculada por recorrência através de:
Como A1 = A, obtemos:
Ak+1 = U t k AkUk (k = 1, 2, . . .).
Ak+1 = U t k U t k−1 . . . U t 2U t 1 A U1U2 . . . Uk−1Uk = V t AV,
onde V = U1U2 . . . Uk−1Uk.
Com a hipótese que Ak D obtemos que D = V t AV , onde V é matriz ortogonal, pois a matriz V é
produto de matrizes ortogonais. Assim D contém os auto-valores de A e V contém seus correspondentes
auto-vetores (em colunas), isto é, a j-ésima coluna de V é o auto-vetor correspondente ao auto-valor λj.
Observe que em cada passo do método de Jacobi, um par de elementos fora da diagonal torna-se zero.
Assim pode parecer, à primeira vista, que uma matriz diagonal é obtida após um número finito de passos.
Entretanto, isso não é verdade porque transformações ortogonais subsequentes destroem os zeros criados