Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 470
Figura 4.3: Domínio Geral - Aproximação por lados da malha
Observação 13.9.1 Na figura 4.3 e seguintes estaremos utilizando a localização geográfica para rotular
os pontos da discretização de 5 pontos, isto é, o ponto central da discretização chamaremos de C, N para
o ponto acima (Norte), S para o ponto abaixo (Sul), L para o ponto à direita (Leste) e O para o ponto à
esquerda (Oeste).
Notemos que ao contrário do caso de domínio retangular, neste caso os pontos onde a condição de fronteira
é conhecida não fazem parte da malha e portanto não podemos utilizar a condição de fronteira para
eliminá-los da equação (13.75). A primeira técnica que apresentamos consiste em aproximar a fronteira do
domínio por segmentos da malha como ilustrado na figura 4.3 acima pela linha mais grossa. Completada
essa aproximação passamos a resolver o problema no novo domínio supondo que a condição de fronteira
u(x, y) = g(x, y) aplica-se agora sobre a nova fronteira. Como pode ser facilmente e diretamente observado
da figura 4.3, ao refinarmos a malha melhores aproximações da fronteira são obtidas. Entretanto, esse não
é o método mais preciso que podemos deduzir. Sua grande vantagem está na simplicidade e facilidade de
aplicação. Na prática, quando aproximamos o domínio pelos lados das células e transportamos a condição
de fronteira para essa nova curva, (observe o ponto P na figura 4.3), estamos aproximando o valor de
UO por aquele de UP , ou seja, estamos interpolando u na célula por um polinômio constante de grau
zero. Como é sabido da teoria da aproximação [?], o erro em tal aproximação é de ordem h. Já o erro de
aproximação da equação diferencial por diferenças finitas, como foi mostrado em (13.85), é de ordem h 2 .
Por essa razão foi comentado acima ser esse um método que não goza de boa precisão.
O sistema linear resultante da aplicação dessa técnica é similar àquele obtido para o caso de um
domínio retangular tendo a forma AU = c onde U representa o vetor das incógnitas, a matriz A tem as
mesmas características daquela em (13.79) a menos do fato de que a subdiagonal onde aparece a constante
c deixa de ser uma diagonal e os valores aparecem em zig-zag.
Exemplo 13.9.1 Considere como um exemplo, a equação de Poisson com condição de fronteira de
Dirichlet para o domínio da figura 4.4.