Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 125
Como o elemento a (2)
32 = 0, permutamos a 3ā equação com a 2 ā e assim obtemos a matriz:
⎛
⎝
3 3 1 | 7
−2 14/3 | 8/3
○ −5/3 | −5/3
a qual já está na forma triangular. Assim a solução de:
⎧
⎨
⎩
3x1 + 3x2 + x3 = 7
2x1 + 2x2 − x3 = 3
x1 − x2 + 5x3 = 5
⎞
⎠ .
é x =
Observações:
1) O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para obtenção das
matrizes L e U da decomposição LU. De fato, chamando de (A|b) (1) a matriz aumentada, o cálculo feito
para obtenção de (A|b) (2) , é equivalente a multiplicar (A|b) (1) por uma matriz M1, onde:
M1 =
⎛
⎜
⎝
1
−m21 1
.
−mn1
Assim, (A|b) (2) = M1(A|b) (1) .
De maneira semelhante: (A|b) (3) = M2(A|b) (1) , onde:
⎛
1
⎜
M2 = ⎜
⎝
e assim sucessivamente. Logo:
1
−m32 1
.
−mn2
. ..
. ..
1
⎞
⎛
⎝ 1
1
1
⎟
⎠ , com mi1 = a(1) i1
1
⎞
⎟
⎠
a (1)
11
, com mi2 = a(2) i2
a (2)
22
(A|b) (n) = Mn−1(A|b) (n−1) = . . . = Mn−1 . . . M1
M
⎞
⎠ .
i = 2, 3 . . . , n .
i = 3, . . . , n ,
(A|b) (1) .
Assim, temos: A (n) = MA (1) = MA = U ( onde U é matriz triangular superior da Decom-
posição LU). Como M é um produto de matrizes não singulares então é inversível; logo existe M −1 =
M −1
1
M −1
2 . . . M −1
n−1 e portanto A = M −1 U.
É fácil verificar que:
M −1 ⎛
1
⎜
= ⎜
⎝
1
m21
m31 m32 1
.
. ..
mn1 mn2 1
onde L é a matriz triangular inferior da decomposição LU.
⎞
⎟ = L ,
⎟
⎠