Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

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CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 179 b) para k ≥ 2 b.1) αk−1 = (r(k−1) , r (k−1) ) (r (k−2) , r (k−2) ) b.2) p (k) = − r (k−1) + αk−1p (k−1) b.3) qk = (r(k−1) , r (k−1) ) (Ap (k) , p (k) ) b.4) v (k) = v (k−1) + qkp (k) b.5) r (k) = r (k−1) + qkAp (k) c) Se v(k+1) − v (k) v (k+1) caso contrário b) . < ɛ, Fim Teorema 5.4 - No método dos gradientes conjugados, as direções de relaxação formam um sistema de direções conjugadas e os resíduos formam um sistema ortogonal, isto é, para i = j, i, j = 1, 2, . . ., vale que: (Ap (i) , p (j) ) = 0 , (r (i) , r (j) ) = 0 , Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em Rutishauser, Stiefel, Schwarz. Do fato de (r (i) , r (j) ) = 0, concluímos que o método dos gradientes conjugados converge, teoricamente, em n passos, onde n é a ordem do sistema; isto porque os vetores r (i) pertencem a um espaço vetorial ndimensional, e assim o sistema ortogonal pode conter no máximo n vetores não nulos. Com isso podemos enunciar o seguinte: Teorema 5.5 - O método dos gradientes conjugados fornece a solução do sistema em no máximo n passos, onde n é a ordem do sistema. Observe que em geral, na prática, devido aos erros de arredondamento, não obteremos a solução do sistema em n passos. Exemplo 5.6 - Usando o método dos gradientes conjugados, obter a solução do sistema do exemplo anterior, com duas casas decimais corretas . Solução: Como o 1 ō passo do método dos gradientes conjugados é igual ao 1 ō gradientes, do exemplo anterior, temos: v (0) = (0, 0, 0) k r (0) ⎛ = ⎝ −11 ⎞ −11 ⎠ , −1 passo do método dos
CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 180 Para k = 2, temos: Ap (2) = v (1) = p (1) = −r (0) , q1 = tmin = 0.09024 , ⎛ ⎝ 0.9922 0.9922 0.0902 ⎞ α1 = (r(1) , r (1) ) (r (0) , r (0) ) ⎠ , r (1) = p (2) = −r (1) + α1p (1) = ⇒ p 2 = ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 0.0858 −0.0044 −0.8942 ⎛ 10 1 0 1 10 1 0 1 10 ⎝ 0.1221 0.0319 −0.8909 ⎞ ⎠ ⎛ = 0.8070 243 ⎞ ⎛ ⎝ −0.0858 0.0044 0.8942 = 0.0033 , ⎛ ⎠ + 0.0033 ⎝ ⎞ ⎠ , ⎝ 0.1221 0.0319 −0.8909 ⎞ ⎠ = 11 11 1 ⎛ ⎞ ⎠ . ⎞ ⎠ ⎝ 1.2529 −0.4498 −8.8771 (Ap (2) , p (2) ) = 0.1530 − 0.0143 + 7.9086 = 8.0473 , v (2) = v (1) + q2p (2) = Para k = 3, segue que: ⎛ ⎝ q2 = (r(1) , r (1) (Ap (2) , p (2) ) 0.9922 0.9922 0.0902 ⎞ ⎠ + 0.1003 = 0.8070 8.0473 ⎛ ⎝ r (2) = r (1) + q2Ap (2) = α2 = (r(2) , r (2) ) (r (1) , r (1) ) 0.1221 0.0319 −0.8909 ⎛ = 0.0033 0.8070 = 0.1003 , ⎞ ⎠ = ⎝ 0.0399 −0.0407 0.0038 p (3) = −r (2) + α2p (2) = ⎛ ⎝ −0.0394 0.0408 −0.0001 ⎞ ⎛ ⎝ ⎠ , = 0.0041 , ⎞ ⎠ , ⎞ 1.0044 0.9954 0.0008 ⎠ , ⎞ ⎠ .
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Universidade de São Paulo Institut
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4 Solução de Sistemas Lineares: M
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12.3.3 Ordem e Constante do Erro .
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Referências Bibliográficas [1] AC
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