Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 74
Ordem de Convergência
Daremos aqui a ordem de convergência do método das secantes.
Teorema 3.7 - A ordem de convergência do método das secantes é p = (1 + √ 5)/2 1.618.
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Ostrowski,1966].
Observe que apesar da ordem de convergência do método das secantes ser inferior à do método de
Newton, ele fornece uma alternativa viável, desde que requer somente um cálculo da função f por passo,
enquanto que dois cálculos (f(xk) e f ′ (xk)) são necessários para o método de Newton.
Exercícios
3.12 - Considere a equação dada no exemplo 3.10. Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais
corretas. Usando (3.5) confirme que a ordem de convergência do método das secantes é p 1.618.
3.13 - Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:
a) x = 2.7 ln x,
b) log x − cos x = 0,
c) e −x − log x = 0.
3.14 - A equação x = tgx tem uma raiz entre π 2 e 3π 2
. Determiná-la pelo método das secantes com
erro inferior a 10−3 .
3.5 Método Regula Falsi
O método Regula Falsi, é uma variação do método das secantes. Ele consiste em tomar duas
aproximações iniciais x0 e x1 tais que f(x0) e f(x1) tenham sinais opostos, isto é:
f (x0) × f (x1) < 0.
Uma nova aproximação é determinada usando o método das secantes, ou seja:
Se
x2 = x0 f (x1) − x1 f (x0)
.
f (x1) − f (x0)
x2 − x0
x2
< ɛ ou
x2 − x1
x2
< ɛ ,
para um ɛ pré-fixado, então x2 é a raiz procurada. Caso contrário, calculamos f(x2) e escolhemos entre x0
e x1 aquele cuja f tenha sinal oposto ao da f(x2). Com x2 e esse ponto calculamos x3 usando a fórmula
das secantes, isto é, usando (3.9) e assim sucessivamente. O processo iterativo deve ser continuado até
que se obtenha a raiz com a precisão pré-fixada.
Uma interpretação geométrica do método regula falsi é dada na Figura 3.13. Observe que, na Figura
3.13, xk+1 é o ponto de interseção da corda que une os pontos (xk−1, f(xk−1)) e (xk, f(xk)) com o eixo
dos x. Nesse caso o novo intervalo contendo a raiz será (xk−1, xk+1). A aproximação xk+2 será o ponto
de interseção da corda que une os pontos (xk−1, f(xk−1)) e (xk+1, f(xk+1)) com o eixo dos x. Observe
ainda que a aplicação do método regula falsi sempre mantém a raiz procurada entre as aproximações
mais recentes.