Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 2. ANÁLISE DE ARREDONDAMENTO EM PONTO FLUTUANTE 47
Entretanto, os erros intermediários podem, algumas vezes, cancelar-se uns com os outros no mínimo
parcialmente. Em outros casos (tal como em processos iterativos) os erros intermediários podem ter um
efeito desprezível no resultado final. Algoritmos com essa propriedade são chamados estáveis.
Instabilidade Numérica ocorre se os erros intermediários tem uma influência muito grande no
resultado final. Veremos esse fato através do seguinte exemplo.
Exemplo 2.17 - Resolver a integral:
In = e −1
1
x
0
n e x dx .
Solução: Vamos tentar encontrar uma fórmula de recorrência para In. Integrando por partes, segue que:
In = e −1
[x n e x ] 1
0 −
1
0
= 1 − n e −1
1
0
= 1 − n In−1 .
x n−1 e x dx
Assim, obtemos uma fórmula de recorrência para In, isto é:
e desde que:
n x n−1 e x
dx
In = 1 − n In−1 , n = 1, 2, . . . , (2.4)
I0 = e −1
1
0
e x dx = e −1 (e − 1) = 0.6321,
é conhecido, podemos, teoricamente, calcular In, usando (2.4). Fazendo os cálculos, obtemos:
I0 = 0.6321 , I1 = 0.3679 , I2 = 0.2642 , I3 = 0.2074 ,
I4 = 0.1704 , I5 = 0.1480 , I6 = 0.1120 , I7 = 0.216 .
O resultado obtido para I7 está claramente errado, desde que:
I7 < e −1 max
0≤x≤1 (ex )
1
0
x n dx < 1
n + 1 ,
isto é, I7 < 1
8 = 0.1250. Além disso a sequência In é uma sequência decrescente. Para ver que a
instabilidade existe, vamos supor que o valor de I0 esteja afetado de um erro ɛ0. Vamos supor ainda que
todos as operações aritméticas subsequentes são calculadas exatamente. Denotando por In o valor exato
da integral e por Ĩn o valor calculado assumindo que só existe erro no valor inicial, obtemos que:
e assim:
Seja rn o erro, isto é:
Ĩ0 = I0 + ɛ0 ,
Ĩn = 1 − n Ĩn−1 , n = 1, 2, . . . . (2.5)
rn = Ĩn − In .