Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 225
3) para zerar o elemento a32, efetuamos o produto:
⎛
1
⎝ 0
0
c
0
s
⎞ ⎛
⎠ ⎝
0 −s
c
a′′ 11 a ′′
12
0 a ′′
32
e desde que queremos a ′′
32 = 0, devemos ter:
Assim, obtemos:
U3
⇒ s =
a ′′
13
0 a ′ 22 a ′ 23
a ′′
33
− s a ′ 22 + c a ′′
32 = 0
a ′′
32
′
a 2
22 + a ′′ 2
32
⎞
⎠ =
⎛
e c =
⎝ a′′
11
a ′′
12
0 a ′′
U3U2U1A = R1 ⇒ A = U t 1U t 2U t 3 R1 .
Q1
22
a ′′
13
a ′′
23
0 0 a ′′
33
a ′ 22
′
a 2
22 + a ′′ 2
32
O produto R1Q1 = R1U t 1U t 2U t 3 é obtido por sucessivas pré-multiplicações de R com as matrizes
U t k , k = 1, 2, . . ..
Exemplo 7.13 - Determinar os auto-valores da matriz:
A =
⎛
2
⎝ 0
0
1
⎞
1
0 ⎠
1 0 1
pelo método de Francis; com ɛ < 10 −2 .
Solução: Como a21 = 0, devemos zerar apenas o elemento a31. Assim U1 = I e para obtermos U2,
fazemos:
Portanto:
Assim :
s =
c =
U2 =
a31
a 2 11 + a 2 31
a11
a 2 11 + a 2 31
⎛
⎝
⇒ s =
0.8944 0 0.4472
0 1 0
−0.4472 0 0.8944
U2U1A = U2IA = U2A =
1
√ 2 2 + 1 2
⇒ c = 2
√ 5 = 0.8944 .
⎞
⎠ .
= 1
√ 5 = 0.4472 ,
⎛
2.2360
⎝ 0
0
1
⎞
1.3416
0 ⎠ .
0 0 0.4472
Desde que a32 = 0 ⇒ U3 = I. Assim: U3U2U1 = U2 e U −1
2 = U t 2. Portanto:
⎛
⎞ ⎛
⎞
0.8944 0 −0.4472 2.2360 0 1.3416
A1 = A = ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠ = Q1R1 .
0.4472 0 0.8944 0 0 0.4472
U t 2
R1
.
⎞
⎠