Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 235
Este problema pode ser resolvido através da aproximação de f(x) por F (x) pelo Método dos
Mínimos Quadrados, como veremos nesse capítulo.
8.2 Aproximação Polinomial
Vamos tratar aqui da aproximação de uma função y = f(x) por um polinômio de um certo grau m,
isto é, F (x) = Pm(x), tanto no caso em que f(x) ∈ C[a, b], onde C[a,b] é o espaço vetorial das funções
contínuas reais definidas no intervalo fechado e limitado [a,b] (caso contínuo), como no caso onde f(x) é
dada por pares de pontos (caso discreto).
8.2.1 Caso Contínuo
Consideremos uma função f(x) ∈ C[a, b].
Inicialmente analisaremos o problema considerando que o polinômio a ser determinado seja escrito
em relação à base canônica e a seguir que ele seja escrito em relação a uma base ortonormal. Assim:
Representação na Base Canônica
Desejamos aproximar f(x), x ∈ [a, b], por um polinômio de grau no máximo m, isto é,
f(x) a0 + a1 x + . . . + am x m = Pm(x),
de tal modo que a distância de f a Pm seja mínima.
Observe que neste caso: g0(x) = 1, g1(x) = x, . . . , gm(x) = x m são funções conhecidas.
Assim, o polinômio (a coeficientes reais), Pm(x), deve ser tal que:
dist (f, Pm) = mínima.
Usando a definição de distância, dada anteriormente, (Capítulo 1), temos:
dist (f, Pm) = ||f − Pm|| = [(f − Pm, f − Pm)] 1/2
=
Assim, o que desejamos é obter:
b
(f(x) − Pm(x)) 2 dx
a
1/2
Q = ||f − Pm|| 2 = mínima ,
(daí a justificativa para o nome mínimos quadrados).
= ||f − Pm|| 2 .