Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL310
3) Provemos para n = k . Usando a definição e a seguir a hipótese de indução, obtemos:
f [x0, x1, . . . , xk] = f [x1, x2, . . . , xk] − f [x0, x1, . . . , xk−1]
xk − x0
= 1
kh
=
1
h k k!
= ∆k f (x0)
h k · k!
k−1 ∆ f (x1)
hk−1 (k − 1)! − ∆k−1f (x0)
hk−1
=
(k − 1)!
∆ k−1 f (x0 + h) − ∆ k−1 f (x0)
Observe que as diferenças ordinárias de ordem n de um polinômio de grau n, Pn(x) = anx n−1 + . . . +
a1x + a0 são iguais a n! h n · an. As diferenças ordinárias de ordem maior que n são todas nulas.
10.7.7 Fórmula de Newton-Gregory
Assim, usando o Teorema 10.8 no Teorema 10.6, obtemos que o polinômio de interpolação na forma
de Newton, para uma função y = f(x) no intervalo [x0, xn] pode ser escrito, no caso de argumentos xi
igualmente espaçados de h, da seguinte maneira:
Pn(x) = f (x0) + (x − x0) ∆1 f (x0)
h
.
+ (x − x0) (x − x1) ∆2 f (x0)
h 2 · 2!
+ . . . + (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn−1) ∆n f (x0)
h n · n!
Esta forma do polinômio de interpolação é conhecida como fórmula de Newton-Gregory.
Exemplo 10.13 - Dada a função tabelada:
x -1 0 1 2
f(x) 3 1 -1 0
determinar o polinômio de interpolação de Newton-Gregory.
Solução: Temos:
x0 = −1 , f (x0) = 3 ,
x1 = 0 , f (x1) = 1 ,
x2 = 1 , f (x2) = −1 ,
x3 = 2 , f (x3) = 0 , e portanto n = 3 .
.
(10.32)