Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 122
Portanto, o sistema triangular obtido,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
é equivalente ao original.
Observações:
a (1)
11 x1 + a (1)
12 x2 + a (1)
13 x3 + . . . + a (1)
1,n−1xn−1 + a (1)
1n xn = b (1)
1
+ a (2)
22 x2 + a (2)
23 x3 + . . . + a (2)
2,n−1xn−1 + a (2)
2n xn = b (2)
2
a (3)
33 x3 + . . . + a (3)
3,n−1xn−1 + a (3)
3n xn = b (3)
3
. . . . . .
a (n−1)
n−1,n−1xn−1 + a (n−1)
n−1,nxn = b (n−1)
n−1
a (n)
nn xn = b (n)
n
1) No 2 o passo, repetimos o processo como se não existisse a 1 a linha e a 1 a coluna da 2 a matriz, isto
é, todas as operações são realizadas em função da 2 a linha da matriz obtida no 1 o passo. De um
modo geral, no (k) o passo, repetimos o processo como se não existissem as (k − 1) primeiras linhas
e as (k − 1) primeiras colunas da k a matriz, isto é, todas as operações são realizadas em função da
linha (k) da matriz obtida no passo (k − 1).
2) A operação: substituir uma equação pela diferença entre essa mesma equação e uma outra equação
multiplicada por uma constante diferente de zero, é equivalente a realizarmos o seguinte cálculo
(descreveremos para o (k o ) passo):
2.1) Determinar as constantes a (k)
ik /a(k)
kk ,
2.2) Um elemento a (k+1)
ij
mento que ocupa a mesma posição, isto é, (a (k)
ij
que se encontra na mesma coluna da linha k, ou seja, pelo elemento (a (k)
kj ).
3) O elemento a (k)
kk é o pivô do kō passo.
Exemplo 4.3 - Resolver o sistema:
⎛
6
⎝ 2
2
4
⎞
−1
1 ⎠
3 2 8
usando o método de Eliminação de Gauss.
será então obtido fazendo-se na matriz anterior a diferença entre o ele-
⎛
⎝ x1
x2
x3
) e o produto da constante (a(k)
⎞
⎠ =
Solução: Montamos incialmente a matriz, 3 × 4:
⎛
6
⎝ 2
2
4
−1
1
|
|
7
7
⎞
⎠ .
3 2 8 | 13
⎛
⎝ 7
7
13
⎞
⎠ ,
ik /a(k)
kk
) pelo elemento