Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 458
o método de eliminação de Gauss pode ser aplicado sem nenhuma dificuldade. A tentativa de resolver
o problema bidimensional resolvendo-se apenas sistemas tridiagonais é materializada pela concepção dos
Métodos de Direções Alternadas (ADI). Métodos ADI são métodos de 2-passos onde em cada passo
apenas uma das variáveis é tratada implicitamente. No primeiro passo uxx é discretizado implicitamente
e uyy é tratado explicitamente, no segundo passo os papeis se invertem e assim sucessivamente. O esforço
computacional do método ADI é cerca de tres vezes o do método explícito, preço que pagamos ao utilizar
um método incondicionalmente est’avel.
Ilustraremos estes métodos com respeito a equação (13.50) com L como em (13.54). A região a ser
considerada consiste em R x [t ≥ 0], onde R é uma região arbitrária fechada em IR 2 . Inicialmente
tomamos R como quadrado [0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1].
Da equação (13.53) temos:
logo,
u n+1 = exp(k(D 2 1 + D 2 2))u n
u n+1 = exp( k
2 (D2 1 + D 2 2) + k
2 (D2 1 + D 2 2))u n
exp(− k
2 (D2 1 + D 2 2))u n+1 = exp( k
2 (D2 1 + D 2 2))u n
exp(− k
2 D2 1)exp(− k
2 D2 2)u n+1 = exp( k
2 D2 1)exp( k
2 D2 2)u n ,
cuja expansão e truncamento da série fornece a equação:
(13.60)
(1 − 1
2 σδ2 x)(1 − 1
2 σδ2 y)U n+1 = (1 + 1
2 σδ2 x)(1 + 1
2 σδ2 y)U n + O(k 3 + kh 2 ), (13.61)
este método é uma modificação do método de Crank-Nicolson em duas dimensões que é dado por:
(1 − 1
2 σδ2 x − 1
2 σδ2 y)U n+1 = (1 + 1
2 σδ2 x + 1
2 σδ2 y)U n + O(k 3 + kh 2 ). (13.62)
Note que para obter (13.61) de (13.62) um termo da forma σ
4 δ2 xδ2 y foi adicionado em ambos os membros
de (13.62).
A equação (13.61) pode ser interpretada de uma forma mais conveniente para a implementação computacional
introduzindo-se um passo intermediário para “decompor” (13.61) em duas equações:
1 (1 − 2σδ2 x)U n+1∗ = (1 + 1
2σδ2 y)U n
(1 − 1
2σδ2 y)U n+1 = (1 + 1
2σδ2 x)U n+1∗
(13.63)
ou seja, o passo intermediário representa uma solução na direção x e o passo final uma solução na
direção y.
O método decomposto (13.63) com U n+1∗ = U n+1/2 , isto é o passo intermediário é interpretado como
um “meio” passo, foi introduzido por Peaceman e Rachford [?] e é conhecido como método de Peaceman
e Rachford.
Um método decomposto com precisão mais alta pode ser obtido da equação (13.60) substituindo D 2 1
e D 2 2 por, (veja exercício (??)).
D 2 1 =
δ 2 x
h 2 (1 + 1
12 δ2 x)
e D 2 2 =
δ 2 y
h 2 (1 + 1
12 δ2 y)