Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 72
O método de Newton, quando modificado desta maneira, é conhecido como Método das Secantes.
Substituindo (3.8) em (3.7) obtemos:
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk) − f (xk−1)
(xk − xk−1)
= xk − (xk − xk−1) f (xk)
f (xk) − f (xk−1)
Assim, colocando o segundo membro sobre o mesmo denominador, obtemos uma expressão mais simples
para o método das secantes:
xk+1 = xk−1 f (xk) − xk f (xk−1)
f (xk) − f (xk−1)
. (3.9)
Observe que devem estar disponíveis duas aproximações iniciais, antes que (3.9) possa ser usada. Na
Figura 3.11, ilustramos graficamente como uma nova aproximação, pode ser obtida de duas anteriores.
xk+1
α
¯x
xk−1
α
f(xk)
f(xk−1)
y ✻
Figura 3.11
xk
f(xk) − f(xk−1)
Pela Figura 3.11 vemos que, geometricamente, o método das secantes consiste em considerar, como
aproximação seguinte, a interseção da corda que une os pontos (xk−1, f(xk−1)) e (xk, f(xk)) com o eixo
dos x. Tomando:
xk+1 = xk − f (xk) (xk − xk−1)
f (xk) − f (xk−1)
⇒ xk+1 − xk
f(xk)
⇒
=
✲
x
xk − xk−1
f (xk) − f (xk−1)
f (xk)
xk+1 − xk = f (xk) − f (xk−1)
xk−1 − xk
Exemplo 3.10 - Determinar a raiz positiva da equação:
√ x − 5 e −x = 0 ,
pelo método das secantes, com erro inferior a 10 −2 .
= tg α.