Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 11
bem definida no IR n . De fato:
N1) x E =
x E
=
N2) λx E =
N3) x + y 2 E =
n
i=1
n
i=1
n
n
i=1
x 2 i
x 2 i
≥ 0 (evidente).
= 0 ⇔
λ 2 x 2 i =
n
i=1
λ2 n
i=1
x 2 i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i ⇔ x = θ.
x 2 i
= |λ| n
i=1
x 2 i = |λ| x E .
(xi + yi) 2 = (x1 + y1) 2 + (x2 + y2) 2 + . . . + (xn + yn) 2
i=1
= x 2 1 + 2x1y1 + y 2 1 + x 2 2 + 2x2y2 + y 2 2 + . . . + x 2 n + 2xnyn + y 2 n
=
≤
n
i=1
n
i=1
x 2 i + 2
x 2 i + 2
onde usamos a desigualdade de Schwarz, isto é:
Portanto,
n
i=1
xiyi ≤
n
i=1
n
i=1
xiyi +
x 2 i
n
i=1
n
i=1
n
x 2 i
i=1
n
y 2 i
y 2 i +
i=1
y 2 i .
n
i=1
y 2 i ,
x + y 2 E ≤ x 2 E + 2 x E y E + y 2 E
= ( x E + y E) 2 .
Assim: x + y 2 E ≤ ( x E + y E) 2 . Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os membros,
temos que: x + y E ≤ x E + y E.
Logo, (1.14) é uma boa definição de norma.
No próximo exemplo, a verificação de que as condições N1, N2 e N3 são satisfeitas, fica como exercício.
Exemplo 1.9 - Seja E = IR n , e seja x = (x1, x2, . . . xn) t . Definimos então:
como normas no IR n .
Observações:
x ∞ = max
1≤i≤n |xi| ,
n
x 1 = |xi| ,
i=1
x = (x, x) ,
1) x = (x, x) corresponde à noção intuitiva de comprimento ou módulo de um vetor.