Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 358
Fórmula de Gauss-Hermite
A expressão do erro, para a fórmula de Gauss-Hermite, é dada por:
En = (n + 1)!√ π
2 n+1 (2n + 2)! f (2n+2) (ξ) , ξ ε (a, b) .
Como pode ser observado, todas as fórmulas do erro contém a derivada da f de ordem 2n + 2, onde n
é o índice do último ponto considerado no cálculo da integral. Assim, usar a fórmula do erro para obter
o número de pontos necessários para calcular a integral com uma determinada precisão torna-se inviável.
Portanto, na prática, se quisermos o resultado da integral com uma determinada precisão, começamos
calculando a integral com 2 pontos, vamos aumentando o número de pontos e comparando os resultados
obtidos. Quando 2 resultados consecutivos tiverem o mesmo número de casas decimais iguais teremos o
resultado com a precisão desejada. O próximo exemplo ilustra este fato.
Exemplo 11.17 - Calcular
1.2
0
e x cos x dx ,
com 3 casas decimais corretas, usando fórmula de quadratura de Gauss.
Solução: Como o intervalo de integração é finito, mas não cincide com o intervalo [−1, 1], devemos fazer
uma mudança de variável. Assim,
x t 1
0 −1 1
= −2x + 1.2t + 1.2 = 0 .
1.2 1 1
Logo:
Assim: 1.2
e x cos x dx = 0.6
0
x = 0.6 (t + 1) e dx = 0.6 dt .
1
e
−1
0.6 (t+1) cos (0.6 (t + 1)) dt = I ,
e portanto estamos nas condições da fórmula de Gauss-Legendre com f(t) = e 0.6 (t+1) cos (0.6 (t + 1)).
Fixemos n = 1. Pela Tabela 1, com N = 2, temos que:
Agora:
Portanto:
t0 = −0.5774 , A0 = A1 = 1.0 ,
t1 = 0.5774 .
f(t0) = f(−0.5774) = e 0.2536 cos(0.2536) = 1.2474 ,
f(t1) = f(0.5774) = e 0.9464 cos(0.9464) = 1.5062 .
I = 0.6 × (1.2474 + 1.5052) = 1.6522 .
Tomemos agora 3 pontos. Assim, pela Tabela 1, com N = 3, temos que:
t0 = −0.7746 , A0 = A2 = 0.5556 ,
t1 = 0 , A1 = 0.8889 ,
t2 = 0.7746 .