Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 82
Calculando o erro relativo:
x2 − x1
x2
0.0002 e
y2 − y1
y2
0.0001
vemos que estes são menores que 10 −3 . Assim, a solução do sistema dado é (¯x, ¯y) = (1.2252, 0.7070) com
ɛ < 10 −3 .
Exercícios:
3.20 - Usando o método de Newton determine, com precisão de 10−3 , uma raiz para cada um dos
seguintes sistemas não lineares:
2 3 3x y − y = 4
i)
x2 + xy3 = 9 com (x0, y0) = (2; 2.5).
ii)
iii)
x 2 + y 2 − 1 = 0
3.7 Equações Polinomiais
x 2 + y 2 + 1 2 = 0 com (x0, y0) = (1; 3).
(x − 1) 2 + y 2 = 4
x 2 + (y − 1) 2 = 4 com (x0, y0) = (2; 1).
Embora as equações polinomiais possam ser resolvidas por qualquer dos métodos iterativos discutidos
previamente, elas surgem tão frequentemente que recebem um tratamento especial. Em particular,
apresentaremos alguns algoritmos eficientes para a determinação de raízes isoladas de polinômios, sejam
elas reais ou complexas.
Seja
P (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0
= n
i=0 aix i , an = 0.
um polinômio de grau n com an = 0. Então, os seguintes resultados são válidos para P (x):
a) P (x) possui, pelo menos, uma raiz.
(3.15)
b) P (x) possui, exatamente, n raízes, desde que uma raiz de multiplicidade k seja considerada k vezes.
c) Se os valores numéricos de dois polinômios de grau ≤ n coincidem para mais do que n valores
distintos de x, os polinômios são idênticos.
d) Se x1, x2, . . . , xn forem as raízes de P (x), então P (x) pode ser expresso univocamente na forma
fatorada:
P (x) = an(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) .
e) Se os coeficientes ak, (k = 0, 1, . . . , n) forem reais, e se a + bi for uma raiz complexa de P (x), então
a − bi será também uma raiz de P (x).