Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 27
Lema 1.1 - Seja A uma matriz de ordem n com auto-valores λi e correspondentes auto-vetores vi, os
quais vamos supor sejam linearmente independentes, e seja
⎛
⎞
λ1
○
⎜ λ2
⎟
⎜
⎟
⎜
D =
λ3 ⎟
⎜
⎟ .
⎜
⎝
. ..
⎟
⎠
○ λn
Então D = V −1 AV se e somente a i-ésima coluna de V é vi.
Prova: Se a i-ésima coluna de V é denotada por vi então a i-ésima coluna de AV e V D são, Avi e
λivi, respectivamente. Portanto os vetores vi são os auto-vetores de A se e somente se AV = V D. Esta
equação pode ser rearranjada como: V −1 AV desde que V seja inversível, e este é o caso pois as colunas
de V são linearmente independentes.
Matriz de Rotação e Matriz Ortogonal
Alguns métodos numéricos são obtidos usando-se matrizes que possuem características especiais. Assim,
passamos a descrever tais matrizes.
No IR 2 as matrizes: cos ϕ sen ϕ
−sen ϕ cos ϕ
,
cos ϕ −sen ϕ
sen ϕ cos ϕ
rotacionam cada vetor do IR 2 , no sentido horário e anti-horário, respectivamente, de um ângulo ϕ, e
porisso são chamadas de Matrizes de Rotação.
No IR 3 a matriz: ⎛
cos ϕ 0
⎞
sen ϕ
⎝ 0 1 0 ⎠ ,
−sen ϕ 0 cos ϕ
é uma matriz de rotação, no sentido horário, de um ângulo ϕ no plano x, z.
No IR n a matriz:
⎛
1
⎜
. ..
⎜ 1
⎜
cos ϕ 0 . . . 0 sen ϕ
⎜
1
U = ⎜
.
⎜
. ..
⎜
1
⎜
−sen ϕ 0 . . . 0 cos ϕ
⎜
⎝
. ..
onde: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
upp = uqq = cosϕ
upg = −uqp = senϕ
uij = 1, i = p, i = q
uij = 0, no resto
,
1
⎞
⎟
⎠
(1.23)