Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 13
Assim uma sequência de vetores é ortonormal se cada um dos seus elementos tem norma 1 e dois
quaisquer distintos dentre eles são ortogonais.
Teorema 1.5 - Num espaço euclidiano, um conjunto ortornormal de vetores é sempre linearmente independente.
Prova: (análoga ao do Teorema 1.1)).
Definição 1.10 - Seja E um espaço euclidiano. Dados os vetores x e y ∈ E, definimos distância entre
x e y, o comprimento do vetor x − y, isto é:
d(x, y) = x − y → d(x, y) = (x − y, x − y).
Temos assim uma aplicação d : E × E → IR, que satisfaz as seguintes condições:
Norma de Matriz
D1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se e somente se x = y ,
D2) d(x, y) = d(y, x) , ∀x, y ∈ E ,
D3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) , ∀x, y, z ∈ E .
Como já dissemos anteriormente, o conjunto das matrizes (n × n), com as operações de soma de
matrizes e produto de um escalar por uma matriz forma um espaço vetorial E de dimensão n 2 . Podemos
então falar em norma de uma matriz A ∈ E. Observe então que no caso de matrizes, vale a mesma
definição de norma de vetor , isto é:
Definição 1.11 - Chama-se norma de uma matriz A, em símbolo, A , qualquer função definida no
espaço vetorial das matrizes n × n, com valores em IR , satisfazendo as seguintes condições:
M1) A ≥ 0 e A = 0 se e somente se A = θ(matriz nula) ,
M2) λ A = |λ| A para todo escalar λ ,
M3) A + B ≤ A + B (desigualdade triangular) .
Daremos a seguir alguns exemplos de norma de matrizes. A verificação de que são normas bem
definidas no espaço vetorial das matrizes n × n, fica a cargo do leitor.
Exemplo 1.12 - Seja A uma matriz (n × n). Definimos então:
a) A ∞ = max
1≤i≤n
b) A 1 = max
1≤j≤n
c) A E =
n
i,j=1
n
j=1
n
i=1
Para essas normas vale: AB ≤ A B . (Prove).
Exemplo 1.13 - Seja
Calcular ||A||∞, ||A||1, ||A||E .
⎛
A = ⎝
|aij| (norma linha) ;
|aij| (norma coluna) ;
a 2 ij (norma euclidiana) .
3 2 −1
6 3 4
−1 2 1
⎞
⎠ .