Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 92
Exemplo 3.16 - Usando o algoritmo Q-D obter todas as raízes do polinômio:
P (x) = x 4 − 6x 3 + 12x 2 − 19x + 12 .
Solução: Aplicando o algoritmo Q-D, obtemos a tabela a seguir, onde após calcularmos as duas primeiras
linhas indicamos com setas como calcular os novos q ′ s e e ′ s:
e (0)
0
0
0
0
0
0
0
0
✯ 6.000
✛ -
❄
4.000
+
q (1)
3.792
3.956
4.033
4.017
3.998
4.000
4.003
+ ✯ 0
−2.000 ✛-
✯ ❄
/
✛ ❄ 0.417
−0.208
−2.985
0.164
1.859
0.077
−0.842
−0.016
4.712
−0.019
0.398
−0.002
−6.426
0.003
1.456
×
e (1)
q (2)
−1.583
✯ /
✛ ❄
−3.610
×
e (2)
5.008
−2.624
5.538
−4.333
−6.826
7.885
0.951
4.141
−0.974
1.777
−3.687
0.627
7.423
−0.466
−0.632
−0.420
−0.107
0.127
0.074
−0.019
−0.030
−0.004
0.632
1.052
1.159
1.032
0.958
0.977
1.007
1.010
Observe que na tabela acima q (1) está convergindo para 4 e q (4) está convergindo para 1. Assim 4.004
e 1.010 são aproximações para duas das raízes de P (x). Agora, desde que e (2) não está convergindo para
zero, q (2) e q (3) , representam o fator quadrático: x 2 − rx − s, onde:
q (3)
0
e (3)
r = 1.456 + (−0.466) = 0.990 ,
q (4)
s = (−6.426) × (−0.466) = −2.995 .
Portanto igualando o fator quadrático a zero, isto é, fazendo:
x 2 − rx − s = x 2 − 0.990x + 2.995 = 0,
obtemos que: 0.495 ± 1.6568i são aproximações para as outras duas raízes de P (x). Podemos então
escrever que:
P (x) (x − 4.004)(x − 1.010)(x − (0.495 + 1.6568i))(x − (0.495 − 1.6568i)) .
É claro, como já dissemos, que os valores encontrados são aproximações para as raízes de P (x). Se
desejarmos o resultado com mais casas decimais corretas, podemos aplicar o Algoritmo Q-D versão
Newton: aplica-se o algoritmo Q-D para obter aproximações para as raízes, e usando o método de Newton
ou Newton-Bairstow refina-se a solução até obtê-la com a precisão desejada. Esta versão de Newton
faz com que o algoritmo seja praticamente livre de erros de arredondamento.
Observações: O algoritmo Q-D não se aplica se:
0
e (4)
0
0
0
0
0
0
0
0