Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 250
8.10 - Considere a função:
y(t) =
−1 , −π ≤ t ≤ 0 ;
1 , 0 ≤ t ≤ π .
Verificar que a aproximação trigonométrica de grau 2:
para y(t) é dada por: y(t) = 4 π sen2t.
y(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t + a2 cos 2t + b2 sen 2t
Obs: Estenda y(t) a uma função impar de período 2π.
8.3.2 Caso Discreto
Consideremos uma função f(x) conhecida nos N pontos distintos:
xk = 2kπ
N
Desejamos aproximar f(x), por uma função do tipo:
, k = 1, 2, . . . , N .
f(x) a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x
+ . . . + aL cos Lx + bL sen Lx = SL(x) .
com L ≤ N 2 ; de tal modo que a distância de f a SL seja mínima.
Adotando o produto escalar:
nosso objetivo é minimizar:
(f, g) =
Q = f − SL 2 =
(8.11)
N
f(xk) g(xk) . (8.12)
k=1
N
(f(xk) − SL(xk)) 2 .
k=1
Evidentemente, tal objetivo será alcançado quando SL for a projeção ortogonal de f sobre o subespaço
gerado por:
{1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos Lx, sen Lx} . (8.13)
Assim, os coeficientes: a0, a1, b1, . . . , aL, bL são determinados resolvendo-se o sistema (8.10), onde o
produto escalar é dado por (8.12).
A sequência (8.13) é ortogonal em [0, 2π], isto é:
N
sen pxk cos qxk = 0, (8.14)
k=1