Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 146
4.10 Exercícios Complementares
4.29 - Quais das matrizes:
⎛
2
A = ⎝ 3
2
3
⎞
1
2 ⎠ ;
⎛
B = ⎝
3 2 1
3 2 1
2 2 1
3 3 2
⎞
⎛
⎠ ; C = ⎝
podem ser decompostas na forma LU ? Decompor as que forem possíveis.
2 1 3
4 3 8
6 7 17
4.30 - Mostre que se A é uma matriz real, simétrica, positiva definida, então necessariamente temos:
a) aii > 0, i = 1, 2, . . . , n .
b) a 2 ik < aii akk, para todo i = k .
c) o maior elemento de A em módulo está sob a diagonal.
4.31 - Considere o sistema Ax = b; onde
⎛
1
A = ⎝ α
α
1
⎞
3
4 ⎠ ;
⎛
x =
5 2 1
Para que valores de α:
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ ; b =
i) A matriz A é decomponível no produto LU ? Justifique.
ii) O sistema pode ser resolvido por Cholesky . Justifique.
⎛
⎝ −2
−3
4
iii) Considere α = 1, e resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss .
4.32 - Resolva o sistema abaixo pelo método de Cholesky, completando adequadamente os espaços
pontilhados. ⎧
⎨ 2 x1 + . . . x2 − x3 = 3
x1
⎩
. . . x1
+
+
10 x2
2 x2
+
+
. . . x3
4 x3
=
=
6
−6
4.33 - Para que valores de α e β a matriz:
⎛
se decompõe no produto GG t .
4.34 - Considere os sistemas:
⎧
⎨
(I)
⎩
⎧
⎨
(II)
⎩
⎝
4 α 1
β 4 1
1 1 1
⎞
⎠ ,
x1 + 2 x2 − x3 = 4
2 x1 + 13 x2 + x3 = 35
− x1 + x2 + 4 x3 = 5
x1 + 2 x2 + x3 = 6
2 x1 + 4 x2 + x3 = 14
2 x1 + 2 x2 + x3 = 6
Faça uma escolha adequada para resolver um deles pelo método de Gauss-Compacto e o outro pelo
método de Cholesky. Justifique sua resposta.
⎞
⎠ .
⎞
⎠ ,