Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL305
c) dar uma estimativa para o erro de truncamento.
Solução: Inicialmente construímos a tabela de diferenças divididas. Assim:
xi f (xi) f [xi, xj]
2 0.13
0.06
3 0.19 0.01
0.08
4 0.27 0.015
0.11
5 0.38 0.01
0.13
6 0.51 0.015
0.16
7 0.67
a) Como as diferenças divididas de 2 ā ordem são praticamente constantes podemos adotar um polinômio
de 2 ō grau para interpolá-la. Além disso, como queremos avaliar f(4.5), escolhemos 3 pontos na
vizinhança de 4.5. Seja então: x0 = 4, x1 = 5 e x2 = 6. Assim:
P2(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x2]
= 0.27 + (x − 4)(0.11) + (x − 4) (x − 5)(0.01)
= 0.01 x 2 + 0.02 x + 0.03 .
b) Agora, f(4.5) P2(4.5) = 0.01 (4.5) 2 + 0.02 (4.5) + 0.03 = 0.3225.
c) Para dar uma estimativa para o erro de truncamento calculamos as diferenças divididas de ordem 3
para a função dada. Fazendo os cálculos observamos que elas são em módulo iguais a 0.005
3
. Assim,
usando (10.30), segue que:
|R2(4.5)| ≤ |(4.5 − 4) (4.5 − 5) (4.5 − 6)| | 0.005
| .
3
Portanto: R2(4.5) 0.000625 6 × 10 −4 . Logo podemos dizer que o resultado acima, obtido para
f(4.5), possui 3 casas decimais corretas.
Exercícios
10.18 - Seja a função tabelada:
x −2 −1 1 2
f(x) 0 1 −1 0
a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton.
b) Calcular f(0.5).