Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 443
Introduzindo a notação vetorial:
Uj = (U1,j, U2,j, · · · UN−1,j) T , (13.28)
então para cada j a equação (13.27) pode ser escrita na forma matricial:
Uj+1 = AUj + cj, j = 0, 1, . . . , (13.29)
onde A é a seguinte matriz (N − 1) × (N − 1):
A =
⎛
1 − 2σ
⎜ σ
⎜ .
⎝ 0
σ
1 − 2σ
. . .
0
σ
σ
. . .
. . .
1 − 2σ
0
0
.
σ
0 . . . 0 σ 1 − 2σ
e cj é um vetor de (N − 1) componentes contendo informações das condições de fronteira dado por:
cj = (f(jk), 0, . . . , 0, g(jk)) T .
⎞
⎟
, ⎟
⎠
(13.30)
De maneira análoga introduzindo os vetores uj = (u(x1, tj), . . . , u(xN−1, tj)) T , τj = (τ1,j, . . . , τN−1,j) T
e ej = (e1,j, . . . , eN−1,j) T para representarem, respectivamente, a solução exata, o erro de truncamento
local e o erro global, e considerando (13.20), podemos escrever a equação matricial para o erro de truncamento
local:
uj+1 = Auj + cj + τj . (13.31)
Subtraindo (13.29) de (13.31) obtemos a equação vetorial para o erro global:
ej+1 = Aej + τj . (13.32)
Aplicando a equação (13.32) recursivamente para j, j − 1, . . . 0 obtemos:
ej+1 = A j+1 e0 + A j τ0 + A j−1 τ1 + · · · + Aτj−1 + τj
= A j τ0 + A j−1 τ1 + · · · + Aτj−1 + τj ,
(13.33)
se lembrarmos que e0 = 0 por construção. Vê-se de (13.34) que o erro global é formado pelo acúmulo dos
erros de truncamento local de cada passo propagados pelas potências da matriz A. Portanto a matriz
A tem um papel crucial na propagação desses erros e ela é chamada de matriz de amplificação. O erro
cresce se algum autovalor de A tem módulo maior do que 1. Se todos são menores do que 1 em módulo,
temos o erro decrescendo e portanto estabilidade. Definimos então:
Definição 13.4 - Uma equação vetorial de diferenças da forma:
Uj+1 = AUj + cj ,
é estável com relação a alguma norma || · || se e sómente se existem constantes h0 > 0, k0 > 0, K ≥ 0
e β ≥ 0 com:
||A n || ≤ K exp(βt) ,
sempre que 0 ≤ t = nk, 0 < h ≤ h0 e 0 < k ≤ k0. Em particular se os autovetores de A são linearmente
independentes e se seus autovalores λi satisfazem |λi| ≤ 1 + O(k), ∀i, então o método será estável. Ver
exercício (13.10).