Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 174
b) para k = 1, 2, . . .
b.1) tmin = (r(k−1) , r (k−1) )
(Ar (k−1) , r (k−1) )
b.2) v (k) = v (k−1) − tminr (k−1)
b.3) r (k) = r (k−1) − tminAp (k−1)
b.4) Se r (k) < ɛ, ouse v(k+1) − v (k)
v (k+1)
caso contrario b) .
< ɛ, Fim,
Exemplo 5.5 - Usando o método dos gradientes obter a solução do sistema:
⎛
10
⎝ 1
1
10
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
0 1 10
x1
x2
⎞
⎠ −
⎛
⎝ 11
⎞
11 ⎠ =
⎛
⎝
1
0
⎞
0 ⎠ ,
0
com precisão de 10 −1 .
Solução: Seja v (0) = (0, 0, 0) t , então:
Para k = 1, obtemos:
Assim:
Agora,
⎛
Ar (0) = ⎝
x3
r (0) = Av (0) + b =
⎛
⎝ −11
−11
−1
⎞
⎠ ,
(r (0) , r (0) ) = 121 + 121 + 1 = 243 ,
10 1 0
1 10 1
0 1 10
⎞
⎠
⎛
⎝ −11
−11
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝ −121
−122
−21
(Ar (0) , r (0) ) = 1331 + 1342 + 21 = 2694 .
v (1) = v (0) − tmin r (0)
=
⎛
⎝ 0
0
0
⎞
tmin = 243
= 0.0902 .
2694
⎠ − 0.0902
r (1) = r (0) − tmin Ar (0)
=
⎛
⎝ −11
−11
−1
⎞
⎠ − 0.0902
⎛
⎝ −11
−11
−1
⎛
⎝ −121
−122
−21
⎞
⎠ =
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 0.9922
0.9922
0.0902
⎛
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
⎝ −0.0858
0.0044
0.8942
⎞
⎠ .