Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 221
multiplicamos as duas matrizes na ordem inversa e formamos a matriz A2 = R1L1, e decompomos, a
seguir, a matriz A2 no produto de duas matrizes triangulares L2 e R2 e assim por diante. Então temos:
Observações:
A1 = A = L1R1
A2 = R1L1 = L2R2
A3 = R2L2 = L3R3
.
Ak = Rk−1Lk−1 = LkRk
.
1) Pode-se provar que: Se os auto-valores de A são distintos a sequência {Ak} converge para uma
matriz triangular superior R.
2) As matrizes A e R são matrizes similares. De fato, temos: A1 = L1R1 ⇒ L −1
1 A1 = R1, então:
A2 = R1L1 = L −1
1 AL1 ,
desde que A1 = A. Portanto A2 é similar a A. De A2 = L2R2 ⇒ L −1
2 A2 = R2, então:
A3 = R2L2 = L −1
2 A2L2 = L −1
2 L−1
1 AL1L2 ,
e portanto A3 é similar a A. De um modo geral, obtemos:
Ak = Rk−1Lk−1 = L −1
k−1 . . . L−1 1
L−1 A L1 . . . Lk−1
L
Portanto Ak é similar a A. Logo possuem o mesmo polinômio característico. Portanto possuem os
mesmos auto-valores.
3) Os elementos diagonais da matriz Ak são os auto-valores procurados.
4) O processo termina quando o elemento de maior valor absoluto da matriz Ak, (abaixo da diagonal
principal), for menor que ɛ, onde ɛ é uma precisão pré-fixada.
Exemplo 7.12 - Calcular os auto-valores de:
⎛
A = ⎝
pelo método de Rutishauser com precisão de 10 −2 .
2 0 1
0 1 0
1 0 1
⎞
⎠
.