Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 19
Se y = 1, então a projeção de x sobre y é dada por (x, y) y.
Projeção Ortogonal de um Vetor sobre um Sub-Espaço
Seja E um espaço euclidiano e seja E ′ , de dimensão finita n, um sub-espaço de E.
Seja v um vetor de E não pertencente a E ′ .
O problema que desejamos resolver agora é o de obter um vetor v0 ∈ E ′ tal que v − v0 seja ortogonal
a todo vetor de E ′ . (A Figura 1.3 ilustra o problema, para o caso em que E = IR 3 e E ′ = IR 2 ).
✠
✠
e1
✻
e2
v0
v
✒ ✻
✲
❘
Figura 1.3
v − v0
Seja {e1, e2, . . . , en} uma base de E ′ . Como v0 ∈ E ′ , v0 pode ser escrito como combinação linear dos
vetores da base de E ′ , isto é:
✲
v0 = γ1 e1 + γ2 e2 + . . . + γn en . (1.17)
O nosso problema consiste em determinar, caso possível, as coordenadas γ1, γ2, . . . , γn de v0.
Sabemos que se v − v0 deve ser ortogonal a todo vetor de E ′ então é necessário e suficiente que v − v0
seja ortogonal a todo vetor de uma base de E ′ (Teorema 1.2). Então, devemos ter:
A aplicação de P2 e P3, fornece:
(v − v0, ej) = 0 para j = 1, 2, . . . , n ; ou seja :
(v − (γ1 e1 + γ2 e2 + . . . + γn en) , ej) = 0 , j = 1, 2, . . . , n.
γ1 (e1, ej) + γ2 (e2, ej) + . . . + γn (en, ej) = (v, ej) , j = 1, . . . , n .
Tais equações são conhecidas por equações normais.
Assim, para obtermos as coordenadas de v0 na base {e1, e2, . . . , en}, devemos resolver o sistema de
equações lineares:
⎛
⎜
⎝
(e1, e1) (e2, e1) . . . (en, e1)
(e1, e2) (e2, e2) . . . (en, e2)
. . .
(e1, en) (e2, en) . . . (en, en)
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
γ1
γ2
.
γn
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
(v, e1)
(v, e2)
.
(v, en)
⎞
⎟ , (1.18)
⎠
cuja matriz dos coeficientes é simétrica.
Mostremos agora que o sistema (1.18) tem uma e uma só solução, isto é, que o problema de determinação
do vetor v0 ∈ E ′ , tal que v − v0 seja ortogonal a todo vetor de E ′ , tem solução única.