Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 93
a) durante o processo ocorrer algum q = 0, (divisão por zero).
b) o polinômio dado tiver raízes nulas, ( é exigido que todos os coeficientes sejam diferentes de zero).
c) se existir algum coeficiente igual a zero.
Para entender a observação do item a) resolva o primeiro exercício proposto a seguir. Em relação
ao item b) o processo pode ser aplicado desde que elimenemos do polinômio as raízes nulas antes de
aplicá-lo. Em relação ao item c), isto é, se existir algum coeficiente igual a zero basta fazer uma mudança
de variável: z = x − a, onde a é uma constante real arbitrária. Com a mudança de variável obtemos um
polinômio que possui todos os coeficientes diferentes de zero. Aplicamos a esse polinômio o algoritmo
Q-D. Determinadas as raízes usamos a mudança de variável para obter os zeros do polinômio dado, isto
é: x = z + a. Assim:
Exemplo 3.17 - Dado P (x) = 81x 4 − 108x 3 + 24x + 20, determinar um polinômio que possua todos os
coeficientes diferentes de zero.
Solução: Temos em P (x) que o coeficiente a2 = 0. Fazemos então a mudança de variável: z = x − a.
Com essa mudança de variável obteremos um polinômio P ∗ (z). Observe que tal polinômio é facilmente
obtido se desenvolvermos P (x) em série de Taylor em torno do ponto a. De fato, para o polinômio dado,
obtemos que:
Fazendo x − a = z, obtemos:
P (x) = P (a) + (x − a)P ′ (a) +
+ (x − a)3
P
3!
′′′ (a) +
(x − a)2
P
2!
′′ (a)
(x − a)4
P
4!
(iv) (a) .
P ∗ (z) = P (a) + zP ′ (a) + z 2 P ′′ (a)
2! + z3 P ′′′ (a)
3! + z4 P (iv) (a)
4!
Os coeficientes do polinômio P ∗ (z) são obtidos aplicando-se o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner, (ver
seção 3.7.1). Como o valor de a é arbitrário, em geral, consideramos a = 1 → z = x − 1. Portanto,
para o polinômio dado, devemos calcular o valor do polinômio P (x) e de suas derivadas no ponto a = 1.
Assim:
Logo:
81 −108 0 24 20
1 81 −27 −27 −3
81 −27 −27 −3 17
1 81 54 27
81 54 27 24
1 81 135
81 135 162
1 81
81 216
1 81
P ∗ (z) = 81z 4 + 216z 3 + 162z 2 + 24z + 17 .
Usamos a algoritmo Q-D para calcular as raízes de P ∗ (z) e a seguir fazendo x = z + 1, obtemos as
raízes de P (x).
.