Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 182
5.10 - Considere o sistema Ax = b; onde:
⎛
10
A = ⎝ 1
−1
10
4
9
⎞
⎠ ;
⎛
x =
2 −3 −10
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ ; b =
Entre os métodos iterativos que você conhece qual você aplicaria? Por que? Resolva - o pelo método
escolhido.
5.11 - Considere o sistema Ax = b; onde:
⎛
50
A = ⎝ 1
−1
50
4
9
⎞
⎠ ;
⎛
x =
2 −3 −50
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ ; b =
⎛
⎝ 5
2
9
⎛
⎝ 45
42
49
Aplique a este sistema o mesmo método aplicado no exercício anterior. Como se comparam as taxas
de convergência? Por que?
5.12 - Considere os sistemas:
⎧
⎨
(I)
⎩
5x1 + 2x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + 4x3 = 1
⎧
⎨
; (II)
⎩
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .
5x1 + 4x2 + x3 = 2
3x1 + 4x2 + x3 = 2
3x1 + 3x2 + 6x3 = −9
Aplicando os critérios que você conhece qual dos métodos iterativos será seguramente convergente?
Justifique.
5.13 - Considere o sistema:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−x1 + 2x2 − x3 = 1
2x1 − x2 = 1
− x2 + 2x3 − x4 = 1
− x3 + x4 = 1
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss - Seidel com garantia de convergência.
5.14 - Certos sistemas de equações lineares podem ser convenientemente tratados pelo método iterativo
de Gauss - Seidel. Depois de uma simples generalização, o método pode ser também usado para alguns
sistemas não lineares. Determinar desse modo uma solução do sistema:
⎧
⎨
⎩
com erro relativo inferior a 10 −2 .
x − 0.1y 2 + 0.05x 2 = 0.7
y + 0.3x 2 − 0.1xz = 0.5
z + 0.4y 2 + 0.1xz = 1.2
5.15 - O sistema : ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
pode ser resolvido minimizando a função:
F = (ax + by + c) 2 + (dx + ey + f) 2 .