Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

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CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 259 -8 Para y(t) = a b t obtemos: Fazendo: ❛ ❛ -4 ❛ ❛ 1 ✻ 1 y ❛ (II) ln y(t) ln a + t ln b . F2(t) = ln y(t); a0 = ln a; a1 = ln b; g ′ 0(t) = 1; g ′ 1(t) = t, obtemos que F2(t) a0 g ′ 0(t) + a1 g ′ 1(t). Assim devemos fazer o gráfico de t contra ln y(t) : −8 ❛ ❛ −4 ❛ ❛ 4 2 Vemos que o gráfico de t contra 1 é mais linear que o gráfico de t contra ln y(t) . Assim, devemos y(t) escolher y = 1 para aproximar a função dada. a + b t ✻ ❛ ln y ❛ ❛ ❛ 4 4 ❛ ✲ t ✲ t
CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 260 Note que o problema só estará resolvido se pudermos linearizar a função dada. Entretanto, existem casos onde a função não pode ser linearizada diretamente, como mostra o exemplo a seguir. Exemplo 8.9 - Aproximar f(x) dada pela tabela: por função do tipo: x 0 2 4 6 8 10 ∞ f(x) 84.8 75.0 67.2 61.9 57.6 53.4 20.0 1 + c. a + b x Solução: Não existe uma transformação que torne o lado direito ( da aproximação) combinação linear de funções conhecidas. Podemos entretanto, tentar resolver o problema analisando a função f. Neste caso, sobre a função f, conhecemos os valores dados na tabela e f tem como limite para x → ∞ o valor 20. Como adotaremos c = 20. Portanto, podemos escrever: 1 lim + c = c , x→∞ a + b x f(x) 1 + 20 a + b x ⇒ f(x) − 20 1 a + b x ⇒ 1 f(x) − 20 a + b x . Substituímos então o problema de aproximar f(x) através de 1 +c pelo de aproximar 1 a + b x f(x) − 20 através de a + b x. A vantagem prática é que temos agora uma família linear nos parâmetros e podemos determiná-los resolvendo o sistema (8.15). Assim, fazendo: F (x) = 1 f(x) − 20 = ⎛ ⎞ 0.0154 ⎜ 0.0182 ⎟ ⎜ 0.0212 ⎟ ⎜ 0.0239 ⎟ ; ⎟ ⎝ 0.0266 ⎠ 0.0299 e usando o produto escalar usual, obtemos: g0(x) = ⎛ 1 ⎜ 1 ⎜ 1 ⎜ 1 ⎝ 1 1 ⎞ ⎟ ; g1(x) = ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 0 2 4 6 8 10 ⎞ ⎟ ; ⎟ ⎠
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4 Solução de Sistemas Lineares: M
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12.3.3 Ordem e Constante do Erro .
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Capítulo 14 Exercícios Mistos 14.
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Referências Bibliográficas [1] AC
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